fold - catastrophe theory -

Imaginez un relief que l'on incline très progressivement. Tant qu'un creux subsiste, une bille peut y rester. Lorsque le creux et la bosse voisine se rejoignent, cette position disparaît : la bille doit quitter la zone, alors que l'inclinaison n'a changé que de façon continue.

Le pli décrit ce seuil. Dans le modèle cubique, le paramètre p₁ incline le potentiel et la variable x repère l'état du système. Deux positions stationnaires se rapprochent, se confondent, puis n'existent plus dans ce modèle local.

En théorie des catastrophes, un pli est une catastrophe élémentaire à une variable interne et un paramètre de contrôle. La variable interne x décrit l'état étudié ; le paramètre p₁ fait varier le potentiel F_p(x) = x³ + p₁x. Les états stationnaires du modèle sont les valeurs de x où la dérivée du potentiel s'annule.

Si p₁ < 0, cette équation possède deux solutions, x = ±√(−p₁/3). La solution positive est un minimum local du potentiel et la solution négative un maximum local, car la dérivée seconde vaut 6x. Pour p₁ = 0, elles fusionnent en x = 0 : le point stationnaire est dégénéré. Pour p₁ > 0, aucune position stationnaire réelle ne subsiste dans cette forme normale. Cette naissance ou disparition par paire produit la géométrie caractéristique du pli.

Suivons le potentiel F_p(x) = x³ + p₁x. Les données sont la variable réelle x et trois valeurs du paramètre de contrôle : p₁ = −3, p₁ = −0,75 et p₁ = 0.

1. Les positions stationnaires vérifient 3x² + p₁ = 0. Pour p₁ = −3, on obtient 3x² − 3 = 0, donc x = −1 et x = 1.

2. La dérivée seconde vaut 6x. Elle est négative en x = −1, qui est un maximum local, et positive en x = 1, qui est un minimum local.

3. Pour p₁ = −0,75, l'équation devient 3x² = 0,75. Les deux positions sont exactement x = −0,5 et x = 0,5 : elles se sont rapprochées.

4. Pour p₁ = 0, l'unique solution est x = 0 et la dérivée seconde s'annule aussi. Le diagramme des solutions p₁ = −3x² montre les deux branches qui se rejoignent à ce point de pli.

Le contrôle se refait par substitution : les couples (−3, ±1), (−0,75, ±0,5) et (0, 0) vérifient tous exactement 3x² + p₁ = 0. Pour une valeur positive de p₁, le membre 3x² + p₁ reste strictement positif ; aucune solution réelle n'est possible.

Pour repérer un pli dans un modèle à potentiel, on calcule d'abord les positions stationnaires, puis on suit leurs solutions quand le paramètre varie. Deux branches qui se rejoignent et disparaissent au même seuil signalent la géométrie du pli.

Pour déterminer la nature des positions, on examine la dérivée seconde. Dans l'exemple, son signe distingue le maximum local du minimum local ; au seuil x = 0, elle ne suffit plus parce qu'elle s'annule.

Pour prévoir une réponse discontinue, il faut enfin interpréter le modèle physique complet. Le pli indique la disparition locale d'un état ; si plusieurs paramètres ou plusieurs branches interviennent, la forme cubique seule ne suffit pas et un modèle plus riche doit être étudié.

Un pli géométrique ordinaire. Une feuille ou une couche rocheuse peut présenter une ligne pliée visible. Le pli catastrophique se reconnaît plutôt par deux états stationnaires qui fusionnent lorsque le paramètre atteint un seuil.

Une fonction discontinue. Le potentiel x³ + p₁x et sa dépendance en p₁ sont continus. Ce qui peut devenir discontinu est la réponse de l'état choisi lorsque sa branche stationnaire disparaît ; une cassure dans la formule du potentiel n'est donc pas le critère.

Au seuil p₁ = 0. Écrire seulement « une solution » masque la dégénérescence : en x = 0, la première et la deuxième dérivée s'annulent. Il faut identifier ce point comme la fusion des deux branches.

Potentiel local, pas paysage global. Le polynôme cubique n'est pas borné inférieurement sur ℝ. Il sert de forme normale près du pli ; pour décrire tout le système ou un état final après la disparition, il faut rétablir les autres termes et contraintes du modèle.

Discontinuité non automatique. Le pli établit qu'une branche stationnaire s'arrête. L'amplitude et la destination d'un saut dépendent du système complet et de la règle qui sélectionne son état ; elles ne se lisent pas dans la seule équation cubique.

Coefficients de normalisation. Une autre écriture peut multiplier ou redimensionner x, p₁ ou le potentiel. Il faut comparer l'équation stationnaire et la fusion des branches, plutôt que d'exiger littéralement les coefficients 1 et 3 de cette convention.

La fiche théorie des catastrophes replace le pli parmi les catastrophes élémentaires et élargit l'étude aux changements qualitatifs décrits par des potentiels.