Envelope of a family of lines
Lorsqu’elle existe sous une forme régulière, l’enveloppe d’une famille de droites est la courbe que celles-ci viennent toucher quand le paramètre varie. Pour la déterminer, on repère les points de contact associés à chaque droite, puis on traduit cette idée par un système d’équations et on vérifie la tangence.
Contents
What you will learn
- Identifier le rôle du paramètre et des points de tangence.
- Calculer une enveloppe avec le système formé par F et sa dérivée partielle.
- Vérifier sur une famille de droites que l’enveloppe est une parabole.
- Repérer les solutions parasites et les paramétrages dégénérés.
In plain terms
Imaginez de nombreuses droites tracées sur une même feuille, chacune obtenue en faisant varier un curseur. Leur faisceau semble frôler une courbe. Dans le cas régulier d’un contact simple, chaque droite la touche en un point particulier sans la couper localement : cette courbe de contact est l’enveloppe de la famille. Plus généralement, une enveloppe peut présenter des singularités ou plusieurs branches.
Le paramètre choisit une droite, tandis que le point de tangence se déplace quand ce paramètre varie. L’ensemble de ces points dessine l’enveloppe, comme une limite visible au milieu de toutes les droites.
Definition
Dans un plan muni de coordonnées, une famille à un paramètre associe une courbe à chaque valeur du paramètre réel noté t. Si les points de la courbe d’indice t vérifient une équation donnée par une fonction F des coordonnées x, y et du paramètre t, cette famille s’écrit .
Sous des hypothèses de régularité, un point caractéristique candidat de la courbe d’indice t satisfait à la fois l’équation de cette courbe et l’annulation de la dérivée partielle de F par rapport au paramètre. Le système est donc :
Éliminer t donne une équation candidate pour l’enveloppe. Lorsque ce lieu forme une courbe régulière, il faut encore exclure les dégénérescences et vérifier qu’elle est tangente au membre correspondant de la famille.
Cette construction vaut aussi pour une famille de courbes, pas seulement pour des droites. Les caustiques de l’optique et la développée d’une courbe s’interprètent ainsi comme des enveloppes de familles de droites. Le système algébrique fournit toutefois des candidats : il faut encore vérifier la réalité des points, leur régularité et la tangence annoncée.
What it is made of
Une enveloppe repose sur quatre éléments. La famille réunit les courbes étudiées. Le paramètre t sélectionne un membre de cette famille. Le point caractéristique candidat est obtenu, pour une valeur de t, en imposant simultanément l’équation du membre et sa variation nulle par rapport à t. Le lieu de ces points, après exclusion des dégénérescences et vérification de la tangence, est l’enveloppe lorsqu’il forme une courbe régulière.
Le paramètre relie donc chaque membre à un point caractéristique candidat. Lorsque la tangence est vérifiée, le mouvement de ces points de contact construit l’enveloppe. L’équation de la famille et sa dépendance en t sont essentielles ; la couleur, l’épaisseur ou la portion dessinée ne le sont pas. Ces données suffisent à rechercher l’enveloppe par élimination du paramètre, puis à contrôler la tangence.
A step-by-step example
Considérons les droites d’indice réel t données par . Les données sont les coordonnées x et y, et le paramètre t. Pour chaque valeur de t, cette relation définit bien une droite.
1. On place tout dans le même membre : .
2. On dérive par rapport à t : .
3. L’annulation de cette dérivée donne exactement .
4. En remplaçant t par x dans l’équation de départ, on obtient .
2. On dérive par rapport à t : .
3. L’annulation de cette dérivée donne exactement .
4. En remplaçant t par x dans l’équation de départ, on obtient .
Le résultat est donc la parabole d’équation . La figure rassemble cinq membres de la famille et leurs points de contact avec cette parabole.
Le contrôle est direct. Pour un indice t, le point appartient à la droite et à la parabole. La pente de la droite vaut 2t, comme celle de la tangente à la parabole en ce point.
In practice
En géométrie analytique, on écrit la famille sous la forme F(x, y, t) = 0, puis on élimine t avec la dérivée partielle. Si la famille est déjà paramétrée point par point, une étude vectorielle du contact peut être plus directe.
En optique géométrique, on suit une famille de rayons réfléchis ou réfractés. Leur enveloppe fait apparaître une caustique, c’est-à-dire une courbe où les rayons se concentrent. Le tracé des rayons est préférable lorsque cette concentration doit être observée.
Pour une courbe régulière, aux points où la courbure ne s’annule pas, on peut considérer la famille de ses normales. Leur enveloppe est la développée de la courbe. Cette construction est adaptée lorsque l’on cherche les centres de courbure plutôt qu’une simple tangente isolée.
Not to be confused with
Une enveloppe et une tangente isolée. Une tangente concerne une courbe et un point donnés. Une enveloppe est une seconde courbe liée à toute une famille : dans l’exemple , chaque droite est une tangente différente, tandis que est leur enveloppe.
Une enveloppe et la réunion des courbes. La réunion contient tous les points de tous les membres. L’enveloppe ne retient que leurs points caractéristiques de contact. Pour la famille de l’exemple, la réunion des droites est la région , alors que l’enveloppe est seulement sa parabole frontière.
Limits and pitfalls
Le système donne des candidats, pas une garantie. Après élimination de t, une branche peut ne correspondre à aucun point réel ou ne pas être tangente au membre associé. Il faut réinjecter les solutions dans les deux équations et vérifier le contact.
Un paramétrage dégénéré peut tromper. Si la dépendance en t s’annule artificiellement pour une valeur isolée, l’équation dérivée peut devenir nulle sur tout un membre. Cette valeur ne produit pas automatiquement une composante de l’enveloppe ; on examine alors le paramétrage voisin et la tangence.
L’enveloppe peut avoir des singularités ou plusieurs branches. Le lieu caractéristique n’est pas toujours une courbe lisse et unique. À un point où sa vitesse paramétrique s’annule, la tangente peut être indéterminée ; il faut étudier les branches locales séparément au lieu d’appliquer mécaniquement l’image du « frôlement ».
Further reading
La fiche Développée prolonge la construction par l’enveloppe des normales et relie les points de contact aux centres de courbure.
L’entrée caustique montre comment une enveloppe de rayons prend un sens géométrique en optique.
L’article Les caustiques approfondit le phénomène de concentration produit par des familles de rayons.
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