Ferdinand Lindemann

En 1882, Ferdinand Lindemann publie une démonstration qui clôt un problème posé depuis l'Antiquité. Il établit que π est transcendant : ce nombre n'est pas algébrique.

Cette propriété rend impossible la quadrature exacte du cercle à la règle et au compas. Lindemann relie ainsi un résultat abstrait sur π à une question géométrique très concrète : construire un carré de même aire qu'un cercle.

Carl Louis Ferdinand von Lindemann (1852–1939) est un mathématicien allemand. Sa contribution la plus célèbre est la démonstration, publiée en 1882, de la transcendance de π. Dire que π est transcendant signifie ici qu'il n'est pas algébrique. Or tout nombre constructible à la règle et au compas est algébrique. Pour un cercle non dégénéré de rayon constructible r > 0, le carré de même aire devrait avoir pour côté r√π. Si ce côté était constructible, √π puis π le seraient aussi, ce qui est impossible. La quadrature exacte de ce cercle est donc impossible. Le schéma associé rend visible cette chaîne logique.

Sa méthode s'inspire étroitement de celle par laquelle Hermite avait établi en 1873 la transcendance du nombre e. Elle s'appuie sur la relation fondamentale entre la base e de l'exponentielle, le nombre imaginaire i et π : $e^{i\pi }+1=0e^\{i\backslash pi\}+1=0$. Cette identité intervient dans la méthode ; elle ne constitue pas, isolément, la démonstration de la transcendance de π.

Lindemann se forme auprès de Clebsch à Göttingen et de Felix Klein à Erlangen, qui dirige sa thèse de géométrie non euclidienne en 1873. Après des voyages d'étude en Angleterre et en France, où il rencontre Chasles, Bertrand, Jordan et Hermite, il occupe des postes à Freiburg en 1879, à Königsberg en 1883 puis à Munich en 1893. À Königsberg, il dirige notamment la thèse de David Hilbert. Ses travaux concernent aussi l'analyse, la géométrie et l'histoire des mathématiques.

Suivons le cas historique de la quadrature d'un cercle non dégénéré de rayon constructible r > 0. Les données sont ce cercle, la règle et le compas, l'exigence d'une construction exacte et le résultat de 1882 : π est transcendant.

1. La construction recherchée doit produire un carré ayant exactement la même aire que le cercle.

2. L'aire du cercle est πr². Un carré de même aire devrait donc avoir un côté s vérifiant s² = πr², soit s = r√π.

3. Si ce côté s était constructible, alors √π = s/r le serait aussi, puis π par élévation au carré. Mais Lindemann démontre que π est transcendant, donc non algébrique et non constructible.

4. La conclusion est une impossibilité : aucune suite d'opérations avec ces deux instruments ne réalise la quadrature exacte. Le contrôle consiste à vérifier le mot « exacte » : tracer une approximation visuelle ne contredit pas le résultat.

Pour situer Lindemann dans l'histoire des mathématiques, on associe chaque date à un fait précis : thèse en 1873, publication sur π en 1882, puis postes à Freiburg, Königsberg et Munich. Une chronologie détaillée est préférable à une date isolée lorsque l'on veut distinguer formation, résultat et carrière.

Face à une construction approchée de la quadrature du cercle, on examine le critère annoncé. Si l'égalité des aires est seulement approchée, le dessin ne répond pas au problème antique de la construction exacte à la règle et au compas.

Pour expliquer la portée de la preuve, on suit la chaîne des implications plutôt que de citer seulement la relation avec e et i. Le point décisif est la transcendance de π, qui exclut sa construction par ces instruments.

Nombre transcendant et nombre algébrique. Ils se séparent par un critère précis : un nombre algébrique est solution d'une équation polynomiale non nulle à coefficients entiers, tandis qu'un nombre transcendant ne l'est pas. Le résultat de Lindemann place π dans la seconde catégorie.

Identité d'Euler et preuve de Lindemann. La relation $e^{i\pi }+1=0e^\{i\backslash pi\}+1=0$ intervient dans la méthode décrite par la source. La recopier ne suffit pas à démontrer que π est transcendant ; le cas de Lindemann exige une démonstration distincte.

Quadrature exacte et approximation. Une figure peut donner un carré dont l'aire est très proche de celle du cercle. Le critère qui tranche reste l'égalité exacte obtenue par une construction à la règle et au compas.

La conclusion sur la quadrature vise la construction exacte avec la règle et le compas. Une valeur décimale approchée de π ou un tracé approché ne fournit donc pas de contre-exemple ; il faut annoncer clairement qu'il s'agit d'une approximation.

La relation entre e, i et π est un appui de la méthode, pas toute la preuve. Si une explication passe directement de l'identité à la transcendance de π, une étape essentielle manque ; il faut restituer le rôle de la démonstration publiée en 1882.

L'inspiration venue de la méthode d'Hermite n'efface pas la distinction des résultats. Hermite établit en 1873 la transcendance de e ; Lindemann établit en 1882 celle de π. Les deux dates ne doivent pas être attribuées au même théorème.

Le dossier quadrature du cercle prolonge le résultat de Lindemann en revenant sur le problème géométrique auquel la transcendance de π apporte une réponse définitive.