Gaussian curve

Imaginez les résultats d'une mesure qui se regroupent autour de 100. Les valeurs proches de 100 sont nombreuses, tandis que les valeurs très petites ou très grandes se raréfient. Si cette répartition suit une loi normale, son dessin prend la forme d'une cloche : haute au centre, basse sur les côtés et symétrique.

Le centre indique la valeur moyenne. L'étalement de la cloche indique à quel point les observations s'en écartent habituellement. Une cloche resserrée traduit des valeurs concentrées ; une cloche large traduit des valeurs plus dispersées.

Une loi normale est déterminée par deux paramètres. Sa moyenne, notée μ, est un nombre réel qui fixe le centre de la courbe. Son écart-type, noté σ, est strictement positif et en fixe l'étalement. On note cette loi N(μ, σ²), car sa variance vaut σ².

Pour une valeur réelle x, sa densité est $f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}\exp \text{\hspace{0.17em}⁣}(-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2})f(x)=\backslash frac\{1\}\{\backslash sigma\backslash sqrt\{2\backslash pi\}\}\backslash exp\backslash !\backslash left(-\backslash frac\{(x-\backslash mu)^2\}\{2\backslash sigma^2\}\backslash right)$. La courbe de Gauss est le graphe de cette fonction. Elle est positive, symétrique par rapport à la droite x = μ et atteint son maximum en x = μ.

L'aire totale sous la courbe vaut 1. Pour une variable aléatoire X qui suit cette loi, la probabilité que X soit comprise entre deux valeurs a et b est l'aire sous la courbe entre a et b. La hauteur f(x) est une densité, et non la probabilité que X soit exactement égale à x.

La courbe de Gauss apparaît lorsqu'un modèle normal est utilisé pour décrire des mesures soumises à de nombreux petits effets : erreurs instrumentales, dimensions de pièces fabriquées ou fluctuations biologiques, par exemple. Elle sert alors à situer une observation et à calculer la proportion attendue dans un intervalle.

Dans un jeu de données, on la voit souvent superposée à un histogramme. Cette ressemblance visuelle ne suffit pas à prouver que les données suivent une loi normale : le contexte, la taille de l'échantillon, un graphique quantile-quantile et des diagnostics statistiques complètent l'examen.

Commencez par repérer l'abscisse du sommet : elle vaut la moyenne μ. La courbe se reflète de part et d'autre de cette verticale. Les points d'abscisses μ − σ et μ + σ sont les points d'inflexion, où la courbure change de sens ; leur distance au centre donne une lecture graphique de l'écart-type.

Lisez ensuite une probabilité comme une aire. Environ 68,27 % de l'aire se trouve entre μ − σ et μ + σ, 95,45 % entre μ − 2σ et μ + 2σ, et 99,73 % entre μ − 3σ et μ + 3σ. Ces pourcentages sont propres à la loi normale.

Pour situer une valeur x, calculez son score centré réduit z = (x − μ) / σ. Le signe de z indique le côté du centre et sa valeur absolue indique le nombre d'écarts-types qui séparent x de la moyenne.

Considérons une mesure modélisée par une variable aléatoire X de loi normale, de moyenne 100 et d'écart-type 15. Cherchons la probabilité d'obtenir une valeur comprise entre 85 et 115.

1. La borne 85 se trouve à un écart-type sous la moyenne : $z_1=\frac{85-100}{15}=-1z\_1=\backslash frac\{85-100\}\{15\}=-1$.

2. La borne 115 se trouve à un écart-type au-dessus de la moyenne : $z_2=\frac{115-100}{15}=1z\_2=\backslash frac\{115-100\}\{15\}=1$.

3. L'intervalle [85 ; 115] correspond donc à l'intervalle [μ − σ ; μ + σ]. Pour une loi normale, l'aire comprise entre ces deux bornes vaut environ 0,6827.

4. On obtient $\mathbb{P}(85\le X\le 115)\approx \mathrm{0,6827}\backslash mathbb\{P\}(85\backslash leq\; X\backslash leq115)\backslash approx0\{,\}6827$, soit environ 68,27 %. Sur 100 mesures indépendantes réalisées dans les mêmes conditions, on en attend environ 68 dans cet intervalle, sans que ce nombre soit garanti pour un échantillon particulier.

Avant d'utiliser une courbe normale, identifiez la grandeur mesurée, son unité, la moyenne μ et l'écart-type σ. Vérifiez que le choix d'un modèle symétrique et sans borne dure est plausible pour le phénomène étudié.

Pour comparer des observations issues de lois normales de centres ou d'échelles différents, utilisez le score z. Pour calculer une proportion entre deux bornes, centrez et réduisez chacune d'elles, puis utilisez la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.

La loi normale est un modèle de probabilité continu ; la courbe de Gauss est le graphe de sa densité. Un histogramme, lui, résume des données observées par classes. Il peut sembler en cloche sans coïncider exactement avec une densité normale.

Le théorème central limite n'affirme pas que toute variable aléatoire est normale. Sous des hypothèses appropriées, il décrit l'approximation normale de sommes ou de moyennes convenablement centrées et réduites lorsque le nombre de termes devient grand.

Une courbe normale reste strictement positive sur toute la droite réelle. Sa densité est donc positive pour des valeurs arbitrairement éloignées, et tout intervalle de longueur strictement positive, même très éloigné, a une probabilité positive, parfois minuscule. En revanche, la probabilité de chaque valeur exacte est nulle. Pour une grandeur naturellement bornée, ce modèle peut devenir incohérent dans les queues.

Des données très asymétriques, multimodales ou riches en valeurs extrêmes ne sont pas correctement résumées par la seule moyenne et le seul écart-type d'une loi normale. La règle des 68–95–99,7 % ne doit alors pas être appliquée automatiquement.

Dans un modèle continu, la probabilité d'une valeur exacte est nulle, même au sommet de la cloche. La probabilité associée à un intervalle se lit comme l'aire correspondante sous la courbe ; d'autres événements mesurables peuvent aussi avoir une probabilité non nulle. Enfin, l'approximation fournie par un théorème central limite peut être médiocre pour un petit effectif ou des distributions à queues très lourdes.

Toute variable normale X de moyenne μ et d'écart-type σ peut être transformée en une variable normale centrée réduite Z par $Z=\frac{X-\mu }{\sigma }Z=\backslash frac\{X-\backslash mu\}\{\backslash sigma\}$. Cette transformation ramène tous les calculs à une même courbe, de moyenne 0 et d'écart-type 1.

La fonction de répartition, souvent notée Φ pour la loi centrée réduite, donne l'aire située à gauche d'une valeur z. Elle n'a pas d'expression élémentaire ; ses valeurs sont obtenues par une table ou un logiciel. Ses quantiles permettent notamment de construire des seuils et des intervalles de confiance, lorsque le modèle statistique le justifie.

La forme normale intervient aussi comme approximation. Pour des variables indépendantes de même loi, de variance finie et non nulle, le théorème central limite classique porte sur la somme centrée et réduite, ou de façon équivalente sur la moyenne centrée et multipliée par la racine carrée de l'effectif. La moyenne brute, elle, se concentre autour de l'espérance selon la loi des grands nombres.