Fisher's excess kurtosis

Imaginez huit mesures centrées sur 0. Six valent 0, une vaut −2 et une vaut 2. Les deux valeurs éloignées paraissent minoritaires, mais leur distance compte beaucoup lorsqu'elle est élevée à la puissance quatre.

Le coefficient d'aplatissement, ou excès de kurtosis de Fisher, capte cette sensibilité aux grands écarts. Sa référence est 0 pour la distribution normale. Un signe positif signifie que la moyenne des écarts standardisés élevés à la puissance quatre est supérieure à 3 ; un signe négatif qu'elle est inférieure à 3. Ce signe ne détermine ni la forme de la courbe ni la masse de ses queues.

Le coefficient d'aplatissement de Fisher est un nombre sans unité associé à une distribution. Pour une variable aléatoire X, on note μ sa moyenne et σ son écart-type. Lorsque σ est strictement positif et que le quatrième moment centré est fini, l'excès de kurtosis vaut :

La fraction avant la soustraction est le kurtosis de Pearson, noté β₂. La convention de Fisher donne γ₂ = β₂ − 3 : une distribution normale vaut donc 0 au lieu de 3. Une valeur négative est dite platykurtique ; une valeur positive, leptokurtique ; la valeur 0 est dite mésokurtique. Dans des familles de distributions usuelles, ces termes s'accompagnent souvent d'un sommet plus étalé ou plus accentué et de queues moins ou plus épaisses que celles de la normale. Toutefois, le coefficient mesure exactement un quatrième moment standardisé : son signe ne détermine pas à lui seul la géométrie du sommet et des queues.

Considérons comme population complète les huit valeurs sans unité −2, 0, 0, 0, 0, 0, 0 et 2. Elles constituent toutes les données du calcul.

1. Additionnez les huit valeurs. Leur somme est 0, donc leur moyenne μ vaut 0.

2. Calculez la moyenne des carrés des écarts à 0. Elle donne la variance :

3. Calculez la moyenne des puissances quatrièmes des mêmes écarts :

4. Rapportez ce quatrième moment au carré de la variance, puis retranchez 3 : γ₂ = 4/1² − 3 = 1. L'excès de Fisher est donc exactement 1 : cette distribution empirique est leptokurtique. Le diagramme représente les huit occurrences utilisées. Pour contrôler le résultat, vérifiez que les carrés totalisent 8 et les puissances quatrièmes 32 avant la division par 8.

Pour examiner la présence d'observations très éloignées, calculez le coefficient puis regardez aussi les données ou leur histogramme. Une valeur positive justifie d'examiner, parmi d'autres explications, si certaines observations très éloignées contribuent fortement à la puissance quatre ; elle ne l'implique pas à elle seule.

Pour comparer des distributions exprimées sur des échelles différentes, le kurtosis est adapté car il est sans unité. Si la question porte sur l'ampleur ordinaire de la dispersion, préférez la variance ou l'écart-type.

Pour rapprocher une série d'un modèle normal, utilisez 0 comme repère avec Fisher ou 3 avec Pearson. Un coefficient proche du repère ne prouve pas que la distribution est normale ; il n'en contrôle qu'un moment.

Variance. Elle mesure l'échelle moyenne des écarts au carré, tandis que le coefficient d'aplatissement mesure un quatrième moment après standardisation. Dans l'exemple, la variance vaut 1 et l'excès de Fisher vaut 1 : ces nombres identiques proviennent de calculs différents.

Coefficient d'asymétrie. Il détecte un déséquilibre entre la gauche et la droite. L'exemple est symétrique autour de 0, mais son coefficient d'aplatissement est positif : deux extrêmes opposés s'annulent pour l'asymétrie, pas pour les puissances quatrièmes.

Variance nulle. Si toutes les valeurs sont identiques, σ = 0 et le dénominateur σ⁴ est nul. Le coefficient n'est pas défini ; il faut décrire cette distribution comme dégénérée.

Quatrième moment non fini. Une distribution peut avoir une variance finie sans posséder de quatrième moment fini. Il ne faut alors ni annoncer une très grande valeur ni forcer le calcul : le kurtosis théorique n'existe pas.

Convention non précisée. Au seuil charnière de la normale, Pearson affiche 3 et Fisher 0. Avant toute interprétation, vérifiez si le logiciel retranche 3 et s'il emploie un estimateur corrigé pour les échantillons.

Lecture trop littérale de la forme. Un signe positif ou négatif classe le quatrième moment standardisé par rapport à la normale, mais n'impose pas une unique silhouette. Pour décrire le sommet et chaque queue, examinez aussi un graphique, les quantiles et l'asymétrie.

La fiche sur le Moment situe le quatrième moment centré parmi les outils qui résument une distribution.

La variance d'une variable aléatoire approfondit le second moment placé au dénominateur du coefficient.

La notion de variable aléatoire précise l'objet dont la moyenne et les moments sont calculés.