Branching process
Un processus de branchement modélise l’évolution d’une population où, à chaque génération, chaque individu engendre indépendamment un nombre aléatoire de descendants régi par la même loi. Il permet notamment d’étudier l’extinction : pour une population initiale finie, elle est certaine si la descendance moyenne est au plus 1, sauf si chaque individu a toujours exactement un descendant.
Contents
What you will learn
- Relier la taille d'une génération à la somme des descendances individuelles.
- Calculer pas à pas une trajectoire d'effectifs 1, 2, 2 puis 0.
- Interpréter le seuil moyen d'un descendant et son exception dégénérée.
- Distinguer un modèle probabiliste de l'arbre particulier qu'il produit.
- Repérer les hypothèses d'indépendance et de loi de descendance commune.
In plain terms
Une population compte un individu au départ. À la génération suivante, cet individu peut n'avoir aucun descendant ou en avoir deux. Chacun des nouveaux individus recommence ensuite, indépendamment, avec les mêmes chances.
Cette répétition dessine un arbre aléatoire : certaines branches s'arrêtent, d'autres se multiplient. Le processus de branchement étudie la taille de chaque génération et la possibilité que toutes les branches finissent par disparaître.
Definition
Dans un processus de Bienaymé-Galton-Watson, le temps avance par générations entières. La variable aléatoire X désigne le nombre de descendants d'un individu. Tous les individus utilisent la même loi que X, et leurs nombres de descendants sont indépendants. La variable Zn désigne l'effectif de la génération n.
Pour passer à la génération suivante, on additionne les descendances des Zn individus présents. Si Xn,i désigne la descendance du ie individu de la génération n, la règle est :
La valeur 0 est absorbante : dès que Zn vaut 0, toutes les générations suivantes sont vides.
On note m le nombre moyen de descendants, c'est-à-dire l'espérance de X. Pour une population initiale finie et positive et une moyenne finie, l'extinction est certaine lorsque m ≤ 1, sauf si chaque individu a exactement un descendant avec probabilité 1. Lorsque m > 1, la survie a une probabilité strictement positive, mais elle n'est pas nécessairement certaine.
A step-by-step example
On part d'un seul individu. Données : chaque individu a 0 descendant avec probabilité 1/2 ou 2 descendants avec probabilité 1/2 ; les reproductions sont indépendantes ; Z0 = 1.
1. Le nombre moyen de descendants vaut 0 × 1/2 + 2 × 1/2 = 1. Le processus est donc au seuil critique.
2. Dans la trajectoire observée, l'individu initial a 2 descendants : Z1 = 2.
3. À la génération suivante, le premier en a 0 et le second en a 2 : Z2 = 0 + 2 = 2.
4. Ces deux individus ont chacun 0 descendant : Z3 = 0 + 0 = 0.
2. Dans la trajectoire observée, l'individu initial a 2 descendants : Z1 = 2.
3. À la génération suivante, le premier en a 0 et le second en a 2 : Z2 = 0 + 2 = 2.
4. Ces deux individus ont chacun 0 descendant : Z3 = 0 + 0 = 0.
L'arbre des générations rend cette trajectoire vérifiable : il contient successivement 1, 2, 2 puis 0 individu. L'extinction a lieu à la génération 3 et elle est irréversible.
Le contrôle consiste à recompter les enfants issus de chaque génération : 2 pour la première, puis 0 + 2, puis 0 + 0. Cette trajectoire particulière ne prouve pas à elle seule l'extinction certaine ; le verdict global vient du critère m = 1 et du fait que la loi n'est pas constamment égale à 1.
In practice
Pour décrire une population par générations, on choisit une loi de descendance et un effectif initial. Le modèle de Galton-Watson convient lorsque les individus se reproduisent indépendamment avec la même loi. Si cette homogénéité n'est pas crédible, il faut choisir un modèle qui dépend du type d'individu ou de la génération.
Pour évaluer le risque d'extinction, on commence par calculer le nombre moyen m de descendants. Une valeur m ≤ 1 signale l'extinction certaine dans le cas non dégénéré ; une valeur m > 1 impose un calcul supplémentaire, car elle garantit seulement une chance positive de survie.
Pour simuler une trajectoire, on tire une descendance pour chaque individu présent, puis on additionne ces tirages. Dès que l'effectif atteint 0, le calcul peut s'arrêter : aucune branche ne peut réapparaître dans ce modèle.
Not to be confused with
Processus de branchement et arbre réalisé. Le processus est la règle probabiliste qui engendre toutes les réalisations possibles ; un arbre est une réalisation complète du branchement, qui peut contenir plusieurs lignées. La suite de ses effectifs par génération forme une trajectoire observée de (Z_n). Deux arbres différents peuvent donc provenir de la même loi de descendance.
Processus de Galton-Watson et chaîne de Markov quelconque. L'effectif de Galton-Watson est bien une chaîne de Markov, mais ses transitions viennent obligatoirement d'une somme de descendances indépendantes. Une chaîne dont les transitions sont fixées sans cette structure n'est pas, pour cette seule raison, un processus de branchement.
Limits and pitfalls
Le seuil m = 1 possède une exception. Si chaque individu a exactement un descendant, alors Zn reste égal à Z0 et l'extinction ne survient pas lorsque la population initiale est positive. Il faut donc vérifier que la loi n'est pas concentrée sur 1 avant d'appliquer le critère.
Une moyenne supérieure à 1 ne promet pas la survie. Le symptôme du piège est de conclure « pas d'extinction » à partir de m > 1. Il faut calculer la probabilité d'extinction à partir de la loi entière de descendance.
La moyenne ne décrit pas les trajectoires. Dans l'exemple critique, l'effectif peut d'abord passer de 1 à 2 avant de tomber à 0. Il faut distinguer l'évolution moyenne, la réalisation observée et la probabilité d'extinction.
L'indépendance et la loi commune sont des hypothèses. Si la descendance d'un individu modifie celle des autres, ou si la loi change selon la génération, la somme existe encore mais ce n'est plus le modèle de Galton-Watson décrit ici. Il faut alors expliciter cette dépendance ou cette variation dans un modèle adapté.
Further reading
La chaîne de Markov replace l'effectif Zn dans la famille des processus dont l'état suivant dépend seulement de l'état présent.
L'article Markov : les chaînes de l'espoir apporte un contexte plus large sur cette manière de modéliser une évolution aléatoire.
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