circle of Apollonius
Le cercle d'Apollonius est le lieu des points M (M ≠ B) tels que MA/MB = k, pour deux points fixes distincts A et B, avec k > 0 et k ≠ 1. La fiche explique ensuite comment le construire et vérifie cette définition sur un exemple.
Contents
What you will learn
- Définir le lieu des points à rapport de distances constant.
- Construire le cercle avec les divisions intérieure et extérieure.
- Vérifier un exemple exact avec AB = 10 et k = 2.
- Distinguer le lieu géométrique du gasket d'Apollonius et repérer le cas k = 1.
In plain terms
Placez deux points fixes A et B sur une feuille. Cherchez les positions d'un point M pour lesquelles la distance de M à A vaut toujours deux fois sa distance à B. Les positions obtenues dessinent un cercle, même si l'on ne voit pas immédiatement son centre.
Le nom désigne aussi un empilement de cercles où chaque cercle ajouté est tangent aux trois cercles qui délimitent l'interstice choisi. Dans les deux cas, le mot rappelle une même idée de rapports et de contacts organisés, mais il faut regarder le contexte pour savoir quelle figure est étudiée.
Definition
Dans son premier sens, le cercle d'Apollonius relatif à deux points fixes distincts A et B est le lieu géométrique des points M dont le rapport des distances MA et MB est une constante k. La condition s'écrit , avec k > 0 et k ≠ 1. Le point M ne peut pas être B, puisque la distance MB serait nulle. Lorsque cette condition est satisfaite, le lieu est un cercle.
Les points I et J appartiennent à la droite (AB). I partage le segment [BA] intérieurement dans le rapport k, tandis que J le partage extérieurement dans ce même rapport. Le cercle a alors pour diamètre [IJ] : ces deux points donnent sa position et sa taille, tandis que A, B et k déterminent la construction. Si k est remplacé par 1, le lieu n'est plus un cercle : il devient la médiatrice de [AB]. Dans son second sens, le terme désigne une figure fractale obtenue en ajoutant indéfiniment des cercles tangents dans les interstices formés par trois cercles mutuellement tangents.
What it is made of
Pour construire le lieu, il faut deux points fixes A et B, une constante positive k différente de 1, le point variable M, puis les points I et J de la droite (AB). A et B fournissent les deux distances comparées. La valeur k règle leur rapport et commande la position du lieu. I est le point de division intérieure et J le point de division extérieure ; leur distance fixe le diamètre [IJ]. Le centre du cercle est le milieu de [IJ], et son rayon en est la moitié.
Ces éléments suffisent à tracer le cercle sans choisir de couleur, d'orientation ou d'échelle particulière. Dans le second sens, la structure repose sur trois cercles mutuellement tangents, les arcs qui délimitent les interstices et les cercles ajoutés dans ces interstices. La tangence initiale crée les espaces disponibles ; chaque nouvel ajout en crée d'autres, ce qui permet la répétition indéfinie de la construction.
A step-by-step example
Prenons deux points fixes A et B distants de 10 unités et choisissons k = 2. On cherche le cercle des points M tels que MA soit deux fois MB. Les données sont donc AB = 10, k = 2, I sur [BA] en division intérieure et J sur (AB) en division extérieure.
La division intérieure donne AI = 2 × IB, donc 3 × IB = 10 et IB = 10/3. Ainsi AI = 20/3. La division extérieure donne AJ = 2 × BJ, donc BJ = 10 et AJ = 20. Le diamètre [IJ] mesure alors 20 − 20/3 = 40/3 unités. Le rayon vaut donc 20/3 unités, et le centre est le milieu de I et J. Le contrôle consiste à vérifier, pour un point M du cercle, que le rapport MA/MB vaut bien 2.
La figure associée représente ce calcul sur une droite graduée : A a pour abscisse 0, B pour abscisse 10, I pour abscisse 20/3 et J pour abscisse 20. Le cercle tracé a pour centre d'abscisse 40/3 et pour rayon 20/3 ; ces valeurs sont exactes, sans arrondi.
In practice
Pour vérifier qu'un point appartient au lieu, commencez par exclure M = B, puis mesurez ses distances à A et à B et comparez leur quotient à k. Si M = B, le quotient n'est pas défini ; s'il diffère de k, le point n'appartient pas au cercle choisi.
Pour tracer le lieu, construisez d'abord les deux points de division I et J sur la droite (AB), puis utilisez [IJ] comme diamètre. Cette construction est préférable à un tracé estimé lorsque les distances doivent être exactes.
Pour la figure fractale, partez de trois cercles tangents et repérez les interstices curvilignes. Insérez un cercle tangent aux trois arcs, puis recommencez dans les espaces restants ; le procédé est idéal, mais tout dessin réel s'arrête à une échelle donnée.
Not to be confused with
Le cercle d'Apollonius n'est pas le cercle centré en A ou en B. Le critère qui tranche est le rapport des distances : le centre du lieu est le milieu de [IJ], et il ne coïncide en général ni avec A ni avec B. Dans l'exemple AB = 10 et k = 2, son centre a pour abscisse 40/3, alors que A et B ont pour abscisses 0 et 10.
Le cercle-lieu et le gasket d'Apollonius ne sont pas la même construction. Le premier est défini par un rapport de distances à deux points fixes ; le second naît de cercles qui se touchent et du remplissage répété de leurs interstices. Le vocabulaire commun ne suffit donc pas à les identifier.
Limits and pitfalls
Le cas k = 1 est la frontière essentielle. La condition MA/MB = 1 signifie MA = MB ; le lieu est alors la médiatrice de [AB], et non un cercle d'Apollonius au sens strict retenu ici. Il faut donc traiter séparément cette valeur au lieu de prolonger la construction du diamètre [IJ].
La condition k > 0 exclut un rapport nul ou négatif, qui ne représente pas un rapport de distances admissible dans cette construction. Le point B est également exclu de la relation lorsque MB = 0. Si A et B sont confondus, la distinction entre les deux distances disparaît : le problème n'est plus celui de deux points fixes distincts.
Dans l'empilement fractal, « indéfiniment » décrit la règle de construction, pas une opération réalisable sans fin sur un dessin. Une image finie montre seulement un nombre limité d'étapes ; elle ne doit pas être interprétée comme la totalité de la figure.
Further reading
Le premier sens ouvre sur une idée générale de lieu géométrique : une relation entre distances peut transformer une condition numérique en courbe. En faisant varier k tout en gardant A et B fixes, on obtient une famille de cercles ; la valeur k = 1 forme la transition vers une droite, la médiatrice de [AB].
Le second sens conduit vers l'étude des empilements apolloniens. La répétition des tangences produit une figure à toutes petites échelles, où la géométrie des cercles rencontre les fractales. Ces deux prolongements restent distincts : l'un part d'un rapport à deux points, l'autre d'une configuration de trois cercles tangents.
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