Induced matrix norm

Une matrice transforme des vecteurs : elle peut les étirer, les raccourcir ou changer leur direction. Imaginez que l'on essaie tous les vecteurs non nuls et que l'on compare, chaque fois, la taille obtenue à la taille de départ.

La norme subordonnée retient le plus grand facteur d'étirement possible. Pour la matrice diagonale qui double la première coordonnée et conserve la seconde, ce facteur vaut 2. Le résultat dépend de la façon choisie pour mesurer les vecteurs.

Soit A une matrice qui transforme les vecteurs d'un espace vectoriel normé en vecteurs d'un autre espace vectoriel normé. Une fois ces deux normes vectorielles fixées, la norme subordonnée de A, aussi appelée norme induite ou norme d'opérateur, est définie par :

Le vecteur x parcourt tous les vecteurs non nuls du domaine. En dimension finie, ce supremum est un maximum. Il mesure le facteur d'amplification maximal produit par A. Pour la norme euclidienne, notée norme 2, la norme subordonnée est la plus grande valeur singulière de A. Pour la norme 1, égale à la somme des valeurs absolues des coordonnées, elle est le maximum des sommes des valeurs absolues dans chaque colonne de A. Si les produits sont définis et si les normes utilisées sont compatibles, elle vérifie la sous-multiplicativité : $\mathrm{\parallel }AB\mathrm{\parallel }\le \mathrm{\parallel }A\mathrm{\parallel }\mathrm{\parallel }B\mathrm{\parallel }\backslash |AB\backslash |\backslash leq\backslash |A\backslash |\backslash ,\backslash |B\backslash |$.

On considère la matrice A qui double la première coordonnée et conserve la seconde. Les données sont A = diag(2, 1), le vecteur x = (x₁, x₂) et la norme euclidienne.

1. Appliquez A au vecteur x : Ax = (2x₁, x₂).
2. Calculez le carré de sa norme : ‖Ax‖₂² = 4|x₁|² + |x₂|².
3. Comparez avec 4‖x‖₂² = 4|x₁|² + 4|x₂|². On obtient ‖Ax‖₂ ≤ 2‖x‖₂.
4. Prenez x = (1, 0). Alors Ax = (2, 0) et le rapport ‖Ax‖₂/‖x‖₂ vaut 2.

La borne 2 est donc atteinte : ‖A‖₂ = 2. Le contrôle se refait avec x = (0, 1) : le rapport vaut 1, donc toutes les directions ne sont pas amplifiées autant. La figure matérialise cette différence entre les deux axes.

Pour borner l'erreur transmise par une transformation linéaire, on multiplie la taille de l'erreur d'entrée par la norme subordonnée de la matrice. Cette borne est préférable à l'étude de chaque vecteur lorsque seule la pire amplification compte.

Pour comparer un calcul matriciel à la géométrie euclidienne, on emploie la norme 2 : sa valeur est la plus grande valeur singulière. Si les données sont plutôt mesurées par la somme des valeurs absolues, la norme 1 est cohérente et se lit directement sur les colonnes.

Pour un produit de matrices, la sous-multiplicativité fournit immédiatement une borne : la norme du produit ne dépasse pas le produit des normes. On garde toutefois la norme exacte du produit lorsqu'elle est accessible, car la borne peut être stricte.

Norme subordonnée et norme matricielle quelconque. Une norme subordonnée provient de normes vectorielles et satisfait ‖Ax‖ ≤ ‖A‖‖x‖. Une norme matricielle peut être définie autrement. Par exemple, la norme de Frobenius de diag(2, 1) vaut √5, tandis que sa norme subordonnée euclidienne vaut 2.

Valeur propre et valeur singulière. Pour la norme euclidienne, la quantité décisive est la plus grande valeur singulière, pas en général la valeur absolue de la plus grande valeur propre. Les deux coïncident pour diag(2, 1), mais cette coïncidence ne constitue pas une règle générale.

Le vecteur nul est exclu. Pour x = 0, le quotient ‖Ax‖/‖x‖ demanderait une division par zéro. On formule donc la définition sur les vecteurs non nuls, ou de manière équivalente sur les vecteurs de norme 1.

La norme vectorielle doit être précisée. Une même matrice peut avoir plusieurs normes subordonnées. Pour A = diag(2, 1), les normes subordonnées 1 et 2 valent toutes deux 2, mais cette égalité est propre à cet exemple et ne généralise pas.

Le maximum demande un cadre adapté. En dimension finie, la sphère unité est compacte et le maximum est atteint. Dans un espace de dimension infinie, on conserve le supremum : un opérateur borné peut ne réaliser sa norme sur aucun vecteur unitaire.

La borne d'un produit n'est pas toujours une égalité. L'inégalité ‖AB‖ ≤ ‖A‖‖B‖ garantit une majoration. Si une valeur précise est nécessaire, il faut calculer ou estimer directement la norme de AB.

La valeur singulière explique pourquoi la plus grande d'entre elles donne exactement la norme subordonnée euclidienne.

L'algèbre linéaire replace matrices, vecteurs et transformations linéaires dans le cadre commun où cette norme mesure une amplification.