Lebesgue number
Soit A une partie compacte d'un espace métrique E, et soit (U_i)_{i ∈ I} un recouvrement ouvert de A, c'est-à-dire une famille de parties ouvertes de E telle que A est contenu dans la réunion des U_i. Le nombre de Lebesgue associé à ce recouvrement est un réel ρ strictement positif tel que toute boule ouverte de rayon ρ dont le centre appartient à A est entièrement contenue dans l'un des ouverts U_i du recouvrement. L'existence d'un tel réel est garantie par la compacité de A. Ce résultat est connu sous le nom de lemme de Lebesgue.
Contents
What you will learn
- Identifier la condition uniforme qui définit un nombre de Lebesgue.
- Vérifier le rayon 0,1 sur un recouvrement explicite du segment [0 ; 1].
- Reconnaître le rôle de la compacité, de l'ouverture et de la convention sur les boules.
In plain terms
Imaginez le segment de 0 à 1 posé sous deux intervalles ouverts qui se chevauchent. Autour de chaque point du segment, on veut tracer une petite boule — ici, un intervalle — qui tienne tout entière dans l'un des deux ouverts.
Un nombre de Lebesgue est un même rayon positif utilisable en tout point. La compacité empêche que la marge disponible rétrécisse indéfiniment vers zéro : il reste une taille uniforme, même si l'ouvert qui accueille la boule change avec son centre.
Definition
On considère une partie compacte A d'un espace métrique E et une famille d'ouverts, notée (Ui)i ∈ I, dont la réunion contient A. Un nombre de Lebesgue de ce recouvrement est un réel strictement positif, noté ρ, qui fournit un rayon uniforme pour tous les points de A.
Pour tout point x de A, il doit exister un indice i, éventuellement différent selon x, tel que la boule ouverte de centre x et de rayon ρ soit contenue dans Ui. En notant BE(x, ρ) cette boule dans l'espace ambiant E, la condition s'écrit : .
Le lemme de Lebesgue affirme l'existence d'un tel rayon grâce à la compacité de A. Le nombre n'est généralement pas unique : dès qu'un rayon convient, tout rayon positif plus petit convient aussi. La propriété porte sur une taille commune à tous les centres, non sur le choix d'un même ouvert pour tout A.
A step-by-step example
Dans la droite réelle, prenons le compact A = [0 ; 1]. Il est couvert par les ouverts U1 = ]−0,1 ; 0,7[ et U2 = ]0,3 ; 1,1[. Nous testons le rayon ρ = 0,1.
1. Pour un centre x compris entre 0 et 0,4, la boule ]x − 0,1 ; x + 0,1[ est contenue dans U1.
2. Pour un centre x compris entre 0,4 et 1, la même boule est contenue dans U2.
3. Au point de raccord x = 0,4, elle vaut ]0,3 ; 0,5[ et tient dans les deux ouverts.
2. Pour un centre x compris entre 0,4 et 1, la même boule est contenue dans U2.
3. Au point de raccord x = 0,4, elle vaut ]0,3 ; 0,5[ et tient dans les deux ouverts.
Ainsi, toute boule ouverte de rayon 0,1 centrée sur A tient dans au moins un ouvert du recouvrement : 0,1 est un nombre de Lebesgue. Le contrôle décisif se fait aux extrémités. En x = 0, la boule atteint la borne −0,1 sans l'inclure ; tout rayon supérieur sortirait de U1. Le même raisonnement vaut en x = 1 avec U2. Dans cet exemple, 0,1 est donc le plus grand rayon admissible.
In practice
Pour découper un compact en petites zones, on choisit un diamètre inférieur au nombre de Lebesgue. Chaque zone peut alors être traitée dans un seul ouvert du recouvrement, au lieu de changer de cadre à l'intérieur de la zone.
Dans une preuve d'uniformité, le nombre de Lebesgue remplace des rayons choisis point par point par une taille commune. Ce passage est utile lorsque l'argument doit fonctionner simultanément sur tout le compact.
Dans l'exemple du segment, une subdivision en morceaux de longueur strictement inférieure à 0,1 garantit que chaque morceau appartient à l'un des deux ouverts. Si des morceaux plus longs sont nécessaires, il faut contrôler directement leur position par rapport au chevauchement.
Not to be confused with
Nombre de Lebesgue et mesure de Lebesgue. Le premier est un rayon associé à un recouvrement ouvert d'un compact. La seconde attribue une taille à des ensembles. Dans notre exemple, 0,1 décrit une marge uniforme du recouvrement ; ce n'est pas la longueur de A, qui vaut 1.
Nombre de Lebesgue et rayon d'une boule particulière. Un rayon local peut dépendre du centre choisi. Un nombre de Lebesgue doit fonctionner pour tous les centres de A. Si le rayon est choisi après avoir fixé x, on n'a pas encore établi l'uniformité exigée par le lemme.
Limits and pitfalls
Sans compacité, le rayon uniforme peut disparaître. Dans A = ]0 ; 1[, les ouverts Un = ]1/n ; 1[ pour n ≥ 2 couvrent A. Pourtant, pour tout ρ positif, un centre x plus petit que ρ produit une boule qui passe sous 0 et n'est contenue dans aucun Un.
L'ouverture des ensembles compte. Les deux fermés [0 ; 0,5] et [0,5 ; 1] couvrent [0 ; 1], mais aucune boule de rayon positif centrée en 0,5 ne tient entièrement dans l'un d'eux. Ce recouvrement n'entre pas dans les hypothèses du lemme.
Un nombre de Lebesgue n'est pas forcément unique. Dans l'exemple conducteur, tous les rayons ρ tels que 0 < ρ ≤ 0,1 conviennent. Parler du « nombre » ne signifie donc pas qu'une valeur canonique est toujours imposée.
Deux formulations circulent. La définition source exige que la boule entière dans E soit contenue dans un ouvert. Une autre convention demande seulement que son intersection avec A le soit. Avant d'appliquer une valeur, il faut vérifier quelle boule est visée ; la seconde condition peut admettre un rayon plus grand près du bord de A.
Further reading
Le nombre de Lebesgue transforme une information locale — chaque point appartient à un ouvert — en une marge uniforme sur tout le compact. Cette idée éclaire de nombreux arguments où la compacité permet de passer de choix dépendant des points à un contrôle commun.
La fiche Recouvrement précise le vocabulaire des familles d'ensembles dont la réunion contient l'espace étudié.
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