Lerch transcendent

Imaginez une addition dont les termes deviennent de plus en plus petits. À chaque rang, on élève un même nombre z à une puissance croissante, puis on divise par une autre puissance. Lorsque |z| est inférieur à 1, le facteur zⁿ atténue progressivement les contributions.

La fonction de Lerch désigne la valeur vers laquelle tend cette somme infinie. Deux réglages supplémentaires, s et α, modifient le poids des termes. En choisissant certains réglages, on retrouve des fonctions spéciales classiques liées aux séries de nombres.

La fonction transcendante de Lerch, notée Φ, associe une valeur à trois paramètres complexes. Le paramètre z règle la décroissance ou l'oscillation des termes, le paramètre s fixe leur exposant, et le décalage α détermine le départ des dénominateurs. Pour l'indice entier n allant de 0 à l'infini, et en convenant que (n + α)^s = exp(s Log(n + α)) avec l'argument principal dans ]−π, π], sa série de définition est :

Cette série converge pour |z| < 1, à condition que α ne soit ni nul ni un entier négatif. Au bord z = 1, la série devient la fonction zêta de Hurwitz ζ(s, α) lorsqu'elle converge, notamment pour une partie réelle de s strictement supérieure à 1. Pour α = 1, la normalisation exacte avec le polylogarithme est ${\mathrm{Li}}_s(z)=z\mathrm{\Phi }(z,s,1)\backslash operatorname\{Li\}\_s(z)=z\backslash Phi(z,s,1)$. Enfin, la fonction zêta de Lerch s'obtient avec z = e^2iπλ : $L(\lambda ,\alpha ,s)=\mathrm{\Phi }(e^{2i\pi \lambda },s,\alpha )L(\backslash lambda,\backslash alpha,s)=\backslash Phi(e^\{2i\backslash pi\backslash lambda\},s,\backslash alpha)$. Ces fonctions interviennent dans les séries de Dirichlet généralisées, la théorie analytique des nombres et la physique mathématique.

La série repose sur cinq éléments. L'indice entier n énumère les termes à partir de 0. Le numérateur zⁿ gouverne leur atténuation ou leur oscillation. Le décalage α forme la base n + α du dénominateur, tandis que l'exposant s en règle le poids. Le symbole de somme rassemble enfin toutes les contributions.

Le rang n agit donc simultanément sur le numérateur et le dénominateur. De plus, α doit éviter 0, −1, −2, …, car l'un des nombres n + α s'annulerait. Ces données suffisent à calculer des sommes partielles, puis à approcher Φ lorsque la série converge. La fonction est définie par cette relation entre paramètres, et non par la manière de tracer ses valeurs.

Calculons une approximation avec les données suivantes : z = 1/2, s = 2 et α = 1. Nous conserverons les rangs n = 0, 1, 2 et 3. Chaque contribution vaut alors zⁿ divisé par (n + α)^s.

1. Aux quatre rangs choisis, les contributions sont successivement 1, 1/8, 1/36 et 1/128. La décomposition met en évidence le rôle séparé du rang, du numérateur et du dénominateur.

2. Additionnons ces quatre valeurs : $1+\frac{1}{8}+\frac{1}{36}+\frac{1}{128}=\frac{1337}{1152}\approx \mathrm{1,160590}1+\backslash frac18+\backslash frac1\{36\}+\backslash frac1\{128\}=\backslash frac\{1337\}\{1152\}\backslash approx1\{,\}160590$. Cette somme partielle approche Φ(1/2, 2, 1).

3. Pour contrôler l'erreur, tous les termes restants ont un dénominateur au moins égal à 25. Leur somme est donc inférieure à $\frac{1}{25}{\sum }_{n=4}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{2}{)}^n=\frac{1}{200}=\mathrm{0,005}\backslash frac1\{25\}\backslash sum\_\{n=4\}^\{\backslash infty\}(\backslash frac12)^n=\backslash frac1\{200\}=0\{,\}005$.

Ainsi, la valeur cherchée se situe entre 1,160590 et 1,165591. Le contrôle est refaisable : ajouter davantage de termes augmente la somme partielle, tandis que la borne géométrique restante diminue.

En théorie analytique des nombres, la fonction de Lerch rassemble des séries dont les termes combinent un décalage n + α et un facteur zⁿ. Si ce facteur vaut toujours 1, la zêta de Hurwitz est la forme plus directe, sous ses conditions de convergence.

Pour un facteur de phase e^2iπλn de module 1 au numérateur, la notation de la fonction zêta de Lerch met ce facteur complexe au premier plan. Le critère visible est alors son module 1, plutôt qu'une décroissance |z| < 1.

En physique mathématique et dans l'étude de séries de Dirichlet généralisées, Φ sert de forme commune pour conserver ensemble la pondération, l'exposant et le décalage. Quand α vaut 1, le polylogarithme devient souvent la notation naturelle, en tenant compte du facteur de normalisation z.

La zêta de Hurwitz. Sa série ne comporte pas le facteur variable zⁿ. Le cas z = 1 ramène Φ à ζ(s, α), lorsque la série correspondante converge.

Le polylogarithme. Sa série commence naturellement par les puissances d'indice 1. Avec α = 1, le test décisif est la normalisation : Li_s(z) = zΦ(z, s, 1), et non Φ seule.

La fonction zêta de Lerch. Elle utilise une phase e^2iπλn. Elle coïncide avec la fonction transcendante Φ après la substitution z = e^2iπλ, mais ses paramètres et son domaine de série mettent l'oscillation au premier plan.

Le bord |z| = 1. La garantie de convergence |z| < 1 ne couvre pas automatiquement le cercle unité. Par exemple, pour z = 1, il faut vérifier les conditions de la série de Hurwitz ; une partie réelle de s supérieure à 1 suffit.

Un décalage interdit. Si α vaut 0, −1, −2, …, le terme de rang n = −α présente un dénominateur nul. La série de définition ne peut alors pas être utilisée telle quelle.

Les puissances complexes. Lorsque s ou α sont complexes, l'écriture (n + α)^s dépend d'un choix de branche du logarithme complexe. Toute évaluation hors d'un cadre réel positif doit préciser cette convention.

Le cas α = 1. Dire que Φ « est » le polylogarithme masque un facteur. Le réflexe sûr consiste à vérifier l'identité ${\mathrm{Li}}_s(z)=z\mathrm{\Phi }(z,s,1)\backslash operatorname\{Li\}\_s(z)=z\backslash Phi(z,s,1)$ avant de transférer une valeur ou une formule.

La fonction de Lerch sert de carrefour entre plusieurs familles de séries. Étudier ses spécialisations consiste à fixer un paramètre, puis à contrôler séparément la normalisation et le domaine de convergence obtenus.

Fonction polylogarithme — Cette fiche approfondit le cas α = 1 et permet de suivre précisément le facteur z qui relie les deux fonctions.