linear fractional recurrence

On part d’un nombre, puis on le place dans une même machine à calcul pour obtenir le suivant. Avec la règle « ajouter 1, puis diviser par le nombre de départ augmenté de 2 », les valeurs 0, 1/2, 3/5, 8/13 et 21/34 se rapprochent peu à peu d’environ 0,618.

Cette machine est une fonction homographique. La suite garde la mémoire du terme précédent seulement : chaque nouvelle valeur devient aussitôt l’entrée du calcul suivant.

Une suite homographique est une suite récurrente obtenue en itérant une fonction homographique. On choisit un terme initial réel, noté u₀. Pour chaque entier naturel n, le terme suivant est donné par $u_{n+1}=f(u_n)u\_\{n+1\}=f(u\_n)$, où la fonction f s’écrit $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}f(x)=\backslash frac\{ax+b\}\{cx+d\}$. Les coefficients a, b, c et d sont réels ou complexes, et le déterminant ad − bc est non nul. Cette condition empêche le quotient de se réduire à une fonction constante.

Lorsque c est non nul, le calcul n’a de sens que si chaque terme évite le pôle, c’est-à-dire la valeur $-\frac{d}{c}-\backslash frac\{d\}\{c\}$ qui annule le dénominateur. Lorsque c = 0, la fonction n’a pas de pôle fini. Un point fixe est une valeur α telle que f(α) = α. Si des termes s’approchent d’une limite finie et si le passage à la limite est permis, cette limite doit être un point fixe. Une construction graphique avec la courbe de f et la droite d’équation y = x rend visibles une convergence, une divergence ou une oscillation, sans remplacer la vérification algébrique.

La construction réunit cinq données : le terme initial u₀ et les quatre coefficients a, b, c, d de la fonction. Les coefficients fixent à la fois la règle de calcul, le pôle −d/c et les points fixes, obtenus en résolvant f(x) = x. Le terme initial choisit ensuite une trajectoire parmi toutes celles produites par la même fonction.

La condition ad − bc ≠ 0 appartient à la définition de l’homographie. L’évitement du pôle dépend, lui, de toute la trajectoire : un terme peut être autorisé alors que son successeur atteint la valeur interdite. Ces données suffisent à calculer les termes un par un et à tracer l’escalier reliant la courbe de f à la droite y = x. La couleur ou l’échelle du dessin ne définissent pas la suite.

Prenons une suite sans unité. Son terme initial vaut u₀ = 0 et sa fonction est $f(x)=\frac{x+1}{x+2}f(x)=\backslash frac\{x+1\}\{x+2\}$. Les coefficients sont a = 1, b = 1, c = 1 et d = 2 ; le déterminant vaut 1 et le pôle vaut −2.

1. On calcule u₁ = (0 + 1)/(0 + 2) = 1/2.
2. On réinjecte 1/2 : u₂ = (1/2 + 1)/(1/2 + 2) = 3/5.
3. On poursuit : u₃ = (3/5 + 1)/(3/5 + 2) = 8/13.
4. Le calcul suivant donne u₄ = (8/13 + 1)/(8/13 + 2) = 21/34.

Les deux points fixes résolvent $x^2+x-1=0x^2+x-1=0$. Le point fixe positif est $\alpha =\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx \mathrm{0,618}\backslash alpha=\backslash frac\{\backslash sqrt\{5\}-1\}\{2\}\backslash approx0\{,\}618$. Le contrôle est refaisable : 21/34 ≈ 0,6176, plus proche de α que 8/13 ≈ 0,6154. Le tracé montre les mêmes étapes sous forme d’escalier.

Pour obtenir quelques termes, on applique directement la relation de récurrence et on contrôle le dénominateur à chaque étape. Un calcul exact par fractions est préférable aux décimales lorsque les nombres restent maniables, car il évite d’accumuler les arrondis.

Pour pressentir le comportement, on trace la courbe y = f(x), la droite y = x et l’escalier partant de u₀. Le dessin signale une attraction, une fuite ou une alternance ; on préfère ensuite le calcul des points fixes pour confirmer ce que l’œil suggère.

Pour étudier un grand indice, calculer tous les termes devient peu commode. Lorsque les deux points fixes sont distincts, un changement de variable construit avec eux peut transformer la récurrence en une suite géométrique ; si les points fixes se confondent, cette transformation doit être adaptée.

Fonction homographique. La fonction est la règle x ↦ (ax + b)/(cx + d), tandis que la suite est la trajectoire obtenue en répétant cette règle depuis u₀. Une même fonction peut donc engendrer plusieurs suites si l’on change le terme initial.

Suite géométrique. Une suite géométrique vérifie une multiplication par un rapport constant. Dans l’exemple, les rapports entre termes successifs non nuls ne sont pas constants : la suite n’est donc pas géométrique, même si un changement de variable peut parfois en faire apparaître une.

Atteinte du pôle. Pour f(x) = (x + 1)/(x + 2), le pôle est −2. Si un terme vaut −2, le suivant n’existe pas. Il faut alors arrêter la suite ; prolonger le calcul en divisant par zéro n’a aucun sens.

Antécédent du pôle. Éviter −2 au départ ne suffit pas. Avec u₀ = −5/3, on obtient exactement u₁ = −2 ; u₂ n’existe donc pas. Le contrôle du dénominateur doit porter sur chaque terme, et pas seulement sur la valeur initiale.

Point fixe ne signifie pas convergence automatique. Dans l’exemple, le second point fixe est $\beta =\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\backslash beta=\backslash frac\{-1-\backslash sqrt\{5\}\}\{2\}$. En choisissant u₀ = β, tous les termes restent égaux à β au lieu de tendre vers le point fixe positif. Le terme initial doit donc être pris en compte.

Lecture graphique. Un tracé trop peu précis peut faire croire qu’une valeur a déjà atteint sa limite. Les fractions 8/13 et 21/34 restent distinctes de α ; il faut conserver le signe ≈ pour leurs écritures décimales et revenir aux calculs exacts.

La fiche fonction homographique approfondit la règle itérée, son domaine et ses paramètres.

L’article Équations linéaires et suites récurrentes ne font qu'un ! ouvre sur les liens entre récurrences et calcul linéaire.