Lotfi Zadeh

En 1965, à l’université de Californie à Berkeley, Lotfi Zadeh introduit une manière de travailler avec des catégories aux frontières graduelles. Une température, par exemple, ne passe pas forcément d’un seul coup de « non élevée » à « élevée » : elle peut appartenir plus ou moins à cette catégorie.

Cette idée porte les noms de théorie des ensembles flous et de logique floue. Elle donne un langage mathématique aux situations mal découpées par un simple oui ou non, sans renoncer à des règles précises.

Lotfi Aliasker Zadeh (1921-2017) est un mathématicien, informaticien et ingénieur né à Bakou, en Azerbaïdjan. Après une enfance poursuivie en Iran, un diplôme d’ingénierie électronique obtenu à Téhéran en 1942 et un doctorat obtenu à l’université Columbia de New York en 1949, il devient professeur à l’université de Californie à Berkeley à partir des années 1960.

Son apport décisif date de 1965 : la théorie des ensembles flous et la logique floue. Dans un ensemble flou nommé A, chaque objet x reçoit un degré d’appartenance donné par la fonction μ_A. Ce degré est compris entre 0 et 1 : ${\mu }_A(x)\in [0,1]\backslash mu\_A(x)\backslash in[0,1]$. La valeur 0 signifie que x n’appartient pas à A, la valeur 1 qu’il y appartient pleinement, et une valeur intermédiaire représente une appartenance graduelle selon le modèle choisi.

Ce cadre modélise des catégories qui ne sont pas nettement délimitées. Il est devenu un outil de l’intelligence artificielle et trouve des applications en robotique, en automatisme industriel, en médecine, en météorologie et dans les assurances. Un degré d’appartenance décrit ici une catégorie graduelle ; il ne donne pas, à lui seul, la probabilité qu’un événement se produise.

Considérons un automatisme industriel fictif qui doit interpréter la catégorie « température élevée ». Cet exemple illustre l’outil introduit par Zadeh, sans prétendre fixer une norme universelle de température.

Les données du modèle sont les suivantes :
• à 20 °C, le degré d’appartenance vaut 0 ;
• à 30 °C, il vaut 1 ;
• entre ces deux valeurs, il augmente de façon linéaire ;
• la température observée est 26 °C.

On note T la température en degrés Celsius et μ_E(T) son degré d’appartenance à la catégorie E, « température élevée ». Entre 20 °C et 30 °C, la règle choisie est : ${\mu }_E(T)=\frac{T-20}{30-20}\backslash mu\_E(T)=\backslash frac\{T-20\}\{30-20\}$.

Étape 1 : on calcule l’écart à la borne basse, soit 26 − 20 = 6 °C.
Étape 2 : on calcule l’amplitude de l’intervalle, soit 30 − 20 = 10 °C.
Étape 3 : on divise les deux résultats, soit 6 ÷ 10 = 0,6.

La température de 26 °C appartient donc à la catégorie « élevée » au degré 0,6 dans ce modèle. Le contrôle consiste à vérifier que 0,6 est bien entre 0 et 1 et que 26 °C, situé à 60 % du trajet de 20 °C à 30 °C, donne le même résultat.

En automatisme industriel, une logique binaire convient lorsqu’un seuil net suffit. La logique floue devient pertinente quand la commande doit évoluer progressivement avec une catégorie telle que « température élevée » plutôt que basculer brutalement.

En robotique, le même principe sert à représenter des appréciations graduelles. On le préfère à une frontière tout ou rien lorsque les situations observées passent continûment d’une catégorie à une autre.

En médecine, en météorologie ou dans les assurances, l’intérêt apparaît lorsque les catégories employées ne sont pas nettement délimitées. Le geste essentiel consiste alors à expliciter les degrés retenus, au lieu de laisser les mots vagues décider seuls.

Ensemble flou et probabilité. Un degré d’appartenance indique dans quelle mesure un objet relève d’une catégorie graduelle ; une probabilité mesure l’incertitude attachée à un événement. Dire que 26 °C est « élevé » au degré 0,6 dans le modèle de l’exemple ne signifie pas qu’il y a 60 % de chances que la température soit élevée.

Logique floue et logique binaire. La première autorise des degrés intermédiaires dans le modèle ; la seconde tranche entre deux valeurs. À 26 °C, le modèle gradué produit 0,6, tandis qu’une règle binaire fondée sur un seuil produirait seulement l’un de ses deux verdicts.

Les degrés dépendent du modèle. Les bornes de 20 °C et 30 °C de l’exemple sont des choix fictifs, pas une définition universelle de « température élevée ». Si le contexte change, il faut justifier une autre fonction d’appartenance plutôt que réutiliser ces valeurs automatiquement.

Une valeur intermédiaire n’est pas un aveu d’imprécision. Le degré 0,6 est le résultat exact de la règle linéaire choisie pour 26 °C. Si les règles ou les données sont mal définies, les rendre graduelles ne corrige pas ce défaut : il faut d’abord préciser la catégorie et son domaine.

Les bornes restent des cas charnières. Dans l’exemple, 20 °C donne exactement 0 et 30 °C exactement 1. Hors de l’intervalle, la formule linéaire écrite seule sortirait de [0, 1] ; le modèle doit donc fixer explicitement le comportement extérieur, par exemple 0 en dessous et 1 au-dessus.

La fiche logique floue prolonge ce portrait en détaillant le langage mathématique introduit par Lotfi Zadeh et son emploi pour traiter des catégories graduelles.