Mandelbrot set

Choisissez un point c dans le plan complexe, partez de 0, puis élevez le résultat au carré et ajoutez toujours ce même point. Recommencez. Pour c = −1, les valeurs font 0, −1, 0, −1 : elles restent dans une zone limitée. Pour c = 1, elles commencent par 0, 1, 2, 5 et s’éloignent rapidement.

L’ensemble de Mandelbrot rassemble exactement les paramètres qui produisent le premier comportement. Sa silhouette compliquée est donc une carte : chaque point encode le destin d’une suite.

L’ensemble de Mandelbrot est un sous-ensemble du plan complexe. À chaque nombre complexe c, appelé paramètre, on associe une suite de nombres complexes. Son premier terme vaut z₀ = 0. Chaque terme suivant s’obtient en élevant le précédent au carré, puis en ajoutant c : $z_{n+1}=z_n^2+cz\_\{n+1\}=z\_n^2+c$, où l’entier n indique le rang.

Le paramètre c appartient à l’ensemble de Mandelbrot si la suite ainsi construite reste bornée. Cela signifie qu’il existe une distance finie que tous les termes gardent par rapport à l’origine. Dans le cas contraire, c se trouve à l’extérieur. Cette définition porte sur le comportement de toute la suite, pas seulement sur ses premiers termes. L’ensemble obtenu est compact et connexe.

Chaque paramètre définit aussi un ensemble de Julia pour l’application qui transforme un nombre complexe z en z² + c. Le Mandelbrot en donne un catalogue de connexité : l’ensemble de Julia est connexe lorsque c appartient au Mandelbrot, et totalement discontinu lorsque c lui est extérieur. Benoît Mandelbrot a découvert cet ensemble dans les années 1970 grâce à l’informatique naissante. Sa frontière, d’une complexité infinie, présente des détails à toutes les échelles.

La construction réunit quatre éléments nécessaires. Le plan complexe fournit les paramètres c à tester. Le point initial est toujours z₀ = 0. La règle d’itération transforme un terme en son carré augmenté du même paramètre c. Enfin, le critère d’appartenance demande si tous les termes restent à distance bornée de l’origine.

Le paramètre agit donc à la fois comme point placé sur la carte et comme constante injectée à chaque étape. La règle produit l’orbite de 0, puis le caractère borné de cette orbite décide si le point est retenu. La couleur, le grossissement ou le nombre d’itérations d’une image numérique ne définissent pas l’ensemble : ils servent seulement à le représenter ou à l’approcher. Ces données suffisent à calculer des termes successifs et à tester un paramètre.

On teste le paramètre réel c = −1, considéré comme un point du plan complexe.
Données : le terme initial est z₀ = 0 ; le paramètre vaut −1 ; la règle est $z_{n+1}=z_n^2-1z\_\{n+1\}=z\_n^2-1$ ; les valeurs obtenues seront comparées à la distance 1 de l’origine.

1. Le premier calcul donne z₁ = 0² − 1 = −1.

2. Le suivant donne z₂ = (−1)² − 1 = 0.

3. Comme le calcul retrouve le terme initial, la même alternance recommence : 0, −1, 0, −1, puis ainsi de suite. Chaque terme est donc à une distance 0 ou 1 de l’origine.

La suite reste bornée par 1, donc c = −1 appartient à l’ensemble de Mandelbrot. Le contrôle est refaisable sans prolonger indéfiniment les calculs : le retour exact à 0 impose la répétition du cycle de longueur 2. Le schéma compare ce cycle à l’orbite obtenue avec c = 1.

Pour tester un paramètre à la main, on calcule les premiers termes de l’orbite de 0. Un retour exact à une valeur déjà rencontrée établit un cycle borné ; c’est ce qui arrive pour c = −1. Si aucune répétition n’apparaît, quelques termes modestes ne suffisent pas à conclure.

Pour dessiner l’ensemble, un programme associe un paramètre c à chaque pixel et répète la même règle. Lorsqu’une orbite s’échappe, le pixel est déclaré extérieur. Pour les autres pixels, l’arrêt après un nombre fini d’étapes donne seulement une approximation ; augmenter ce nombre affine surtout la lecture près de la frontière.

Pour étudier un ensemble de Julia, on fixe au contraire un seul paramètre c et l’on fait varier le point initial. Le Mandelbrot est préférable lorsque la question porte sur les paramètres donnant un Julia connexe ; le Julia correspondant est préférable lorsque l’on veut examiner la dynamique pour ce paramètre précis.

Ensemble de Mandelbrot et ensemble de Julia. Le premier fait varier le paramètre c et suit toujours l’orbite de 0. Pour un ensemble de Julia, c est fixé et les points initiaux varient. Ainsi, c = −1 est un point du Mandelbrot, tandis que l’ensemble de Julia associé contient de nombreux points du plan.

Ensemble mathématique et image colorée. L’ensemble est défini par les paramètres dont l’orbite reste bornée. Une image produite avec un nombre fini d’itérations classe seulement des pixels à une résolution donnée. Changer les couleurs modifie la représentation, jamais l’appartenance mathématique.

Autosimilarité et copie exacte. L’apparition de formes parentes à plusieurs grossissements ne signifie pas que toute portion reproduit exactement l’ensemble entier. Le critère qui tranche reste une identité après changement d’échelle, pas une simple ressemblance visuelle.

Un calcul fini ne prouve généralement pas que l’orbite est bornée. Le symptôme est une suite qui reste petite pendant les étapes observées. Sans cycle exact ni autre argument, il faut poursuivre le test ou conserver le verdict « indéterminé à cette précision ».

La frontière est le lieu le plus délicat numériquement. Des paramètres très proches peuvent produire des durées d’échappement très différentes. Une image à résolution et nombre d’itérations finis ne doit donc pas être lue comme une décision exacte pour chaque point voisin de la frontière.

Le point initial n’est pas un réglage libre dans cette définition. Remplacer z₀ = 0 par un autre nombre change la question posée. Pour décider l’appartenance au Mandelbrot, il faut revenir à l’orbite de 0 ; la variation du point initial relève de l’ensemble de Julia associé.

Un paramètre extérieur ne rend pas toute orbite immédiatement grande. Pour c = 1, les termes 0, 1 et 2 précèdent 5. Le symptôme pertinent est l’échappement de la suite, non la taille du premier terme ; il faut appliquer plusieurs fois la règle.

ensemble de Julia — Examiner la dynamique obtenue lorsque le paramètre c est fixé et que le point initial varie.

fractale déterministe — Situer le Mandelbrot parmi les formes produites par une règle répétée sans hasard.

connexité - topologie - — Approfondir la propriété qui relie le Mandelbrot aux ensembles de Julia associés.