GéométrieObjet mathématique · Glossaire
ensemble de Julia
Pour un nombre complexe c fixé, on itère la règle « élever au carré puis ajouter c » à partir de chaque point du plan complexe. L’ensemble de Julia rempli associé à c regroupe les points dont l’orbite reste bornée ; l’ensemble de Julia est la frontière de cet ensemble rempli. Il décrit ainsi la limite entre les comportements qui restent confinés et ceux qui s’échappent, limite dont la forme dépend fortement de c.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier le rôle du paramètre c, du point initial et de l'orbite.
- Distinguer l'ensemble de Julia rempli de sa frontière.
- Vérifier trois comportements d'orbite dans le cas c = 0.
- Séparer ensemble de Julia, ensemble de Mandelbrot et fractale déterministe.
En clair
Choisissez un point dans le plan complexe, élevez-le au carré, puis ajoutez toujours le même nombre. Recommencez avec le résultat. Selon le point de départ, cette trajectoire reste dans une zone limitée ou s'éloigne sans borne.
L'ensemble de Julia rempli rassemble les points dont la trajectoire reste bornée. Son bord est l'ensemble de Julia. Changer le nombre ajouté peut transformer un dessin d'un seul tenant en une poussière d'îlots disjoints.
Définition
Fixons un nombre complexe appelé paramètre et noté c. Pour chaque point de départ z0 du plan complexe, on construit une suite en appliquant toujours la même transformation : , où l'indice n indique le rang de l'itération. Les valeurs successives z0, z1, z2… forment l'orbite du point initial.
L'ensemble de Julia rempli associé à c, souvent noté Kc, contient exactement les points z0 dont l'orbite reste bornée. Cela signifie qu'il existe une distance finie à l'origine que tous les termes de cette orbite respectent. L'ensemble de Julia associé à c, noté Jc, est la frontière de Kc. Il ne faut donc pas identifier automatiquement la région remplie et son bord.
La géométrie dépend très sensiblement du paramètre c. Pour certaines valeurs, Jc est connexe ; pour d'autres, il possède une infinité de composantes disjointes et forme une poussière de Cantor. Sa frontière présente en général une structure fractale. Gaston Julia a introduit et étudié ces ensembles vers 1918 ; Benoît Mandelbrot en a approfondi et popularisé les représentations informatiques dans les années 1970.
De quoi c'est fait
Quatre éléments organisent la construction. Le paramètre c fixe une transformation du plan complexe. Le point initial z0 est le point que l'on teste. La règle d'itération transforme chaque terme en son carré augmenté de c. L'orbite est la suite de tous les résultats obtenus.
Le choix de c détermine donc la règle, tandis que le choix de z0 détermine une orbite particulière. Le caractère borné ou non de cette orbite décide si z0 appartient à Kc. La frontière de tous les points retenus donne ensuite Jc. Couleur, grossissement et cadrage ne définissent pas l'ensemble : ils modifient seulement sa représentation.
Un exemple, pas à pas
Prenons le paramètre c = 0 et comparons trois points réels vus dans le plan complexe. Les données sont z0 = 1/2, z0 = 1 et z0 = 6/5. La règle devient : .
1. À partir de 1/2, les premiers termes sont 1/2, 1/4, 1/16 et 1/256. Ils restent entre 0 et 1 et se rapprochent de 0 : l'orbite est bornée.
2. À partir de 1, chaque mise au carré redonne 1. L'orbite est constante et bornée.
3. À partir de 6/5, les premiers termes sont 6/5, 36/25 puis 1296/625. Chaque terme positif est alors supérieur au précédent et les mises au carré l'éloignent sans borne.
4. Plus généralement, lorsque c = 0, le terme de rang n vaut . Le contrôle est direct : une valeur initiale de module inférieur à 1 tend vers 0, un module égal à 1 reste égal à 1, et un module supérieur à 1 croît sans borne. Ainsi, K0 est le disque de module inférieur ou égal à 1, et J0 est son cercle frontière.
En pratique
Pour tester un point, on choisit c et z0, puis on calcule les termes successifs. Si un critère d'échappement est atteint, le point est exclu de l'ensemble rempli. Si les valeurs restent confinées pendant le nombre fini d'itérations calculées, le point est seulement retenu pour l'approximation : cela ne certifie pas que son orbite est bornée.
Pour produire une représentation informatique, on répète ce test sur une grille de points du plan complexe. Une couleur peut indiquer le comportement de chaque orbite. Une image calculée est alors préférable à un tracé manuel, car elle applique le même critère à chaque point.
Pour étudier l'effet du paramètre, on conserve la même fenêtre et la même règle de coloration, puis on change seulement c. Cette comparaison fait apparaître les passages entre ensembles connexes et poussières disjointes sans confondre variation mathématique et changement graphique.
À ne pas confondre
Ensemble de Julia et ensemble de Mandelbrot. Pour un paramètre c fixé, l'ensemble de Julia classe les points initiaux z0. L'ensemble de Mandelbrot classe au contraire les paramètres c en observant l'orbite issue de 0. Le cas qui tranche consiste à faire varier c : on étudie alors les paramètres, pas un unique ensemble de Julia.
Ensemble et orbite. Une orbite est la suite engendrée par un seul point initial. L'ensemble de Julia est une frontière formée de nombreux points initiaux. Calculer 1, 1, 1… pour c = 0 décrit donc une orbite ; cela ne suffit pas à constituer tout J0.
Fractale déterministe et ensemble de Julia. Une fractale déterministe est une catégorie plus large. Dans la famille quadratique étudiée ici, un ensemble de Julia vient de l'itération complexe du carré augmenté d'un paramètre fixé ; d'autres ensembles de Julia sont associés à des applications rationnelles ou holomorphes plus générales.
Limites et pièges
Bornée ne signifie pas convergente. Avec c = −1 et z0 = 0, l'orbite alterne entre 0 et −1. Elle ne tend vers aucune valeur unique, mais reste bornée ; il faut tester la borne, pas exiger une limite.
Le bord n'est pas la région remplie. Pour c = 0, le point 1/2 appartient au disque K0, mais pas à son cercle frontière J0. Il faut préciser « ensemble de Julia rempli » lorsqu'on inclut les points intérieurs.
La connexité dépend du paramètre. Un dessin obtenu pour une valeur de c ne décrit pas toutes les géométries possibles. Certaines valeurs donnent un ensemble connexe ; d'autres produisent une infinité de composantes disjointes, appelée poussière de Cantor. Toute conclusion visuelle doit donc mentionner le paramètre employé.
Une image finie reste une approximation. L'ensemble mathématique est défini par le comportement de suites infinies, tandis qu'un calcul s'arrête après un nombre fini d'itérations et utilise une grille. Il faut indiquer ces choix avant d'interpréter un pixel comme une décision exacte près de la frontière.
Pour aller plus loin
ensemble de Mandelbrot — Passer des points initiaux d'un ensemble de Julia au classement des paramètres c.
fractale déterministe — Replacer les frontières de Julia dans la famille plus large des constructions fractales gouvernées par une règle.
L’électron libre de la géométrie — Situer Benoît Mandelbrot et la diffusion informatique de la géométrie fractale.
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