AnalyseNotion · Glossaire
lapin de Douady
Le lapin de Douady est l’ensemble de Julia de la fonction quadratique complexe z ↦ z² + c pour c ≈ −0,123 + 0,745i : c’est la frontière de l’ensemble des points dont l’orbite reste bornée sous cette itération. Cette frontière fractale connexe, dont les trois grands lobes évoquent un lapin, montre comment une règle simple engendre des détails à toutes les échelles.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier la silhouette du lapin à l'itération z au carré plus c.
- Calculer les trois premières images de l'origine avec le paramètre décimal donné.
- Distinguer ensemble de Julia, ensemble rempli et ensemble de Mandelbrot.
- Interpréter la dimension de Hausdorff annoncée et les limites dues aux approximations.
En clair
Prenez un point du plan, élevez sa position au carré, puis ajoutez toujours le même nombre complexe : −0,123 + 0,745i. Recommencez encore et encore. Selon le point de départ, la suite reste dans une zone limitée ou s'échappe au loin.
La frontière entre ces deux comportements forme le lapin de Douady. En changeant d'échelle, de nouveaux détails apparaissent sans fin. Ses trois grands lobes évoquent la tête et les oreilles d'un lapin stylisé.
Définition
Le lapin de Douady est l'ensemble de Julia associé à une fonction quadratique complexe. Le nombre complexe fixé, appelé paramètre c, vaut ici −0,123 + 0,745i. La fonction associe à chaque nombre complexe z son carré augmenté de c : .
Pour étudier un point initial, on applique cette fonction de façon répétée. L'ensemble rempli rassemble les points dont l'orbite reste bornée ; l'ensemble de Julia en est la frontière. Pour ce paramètre, cette frontière est connexe et sa forme globale présente trois lobes imbriqués. À chaque grossissement apparaissent de nouveaux détails.
Sa dimension de Hausdorff est d'environ 1,3934 : elle est supérieure à celle d'une courbe lisse, égale à 1, mais inférieure à celle d'une région plane, égale à 2. Son nom rend hommage à Adrien Douady (1935-2006), pionnier des systèmes dynamiques complexes et de l'étude de l'ensemble de Mandelbrot.
Un exemple, pas à pas
Suivons l'orbite du point initial z0 = 0. Les données sont le paramètre c = −0,123 + 0,745i et la règle , où l'indice n compte les itérations.
1. Comme le carré de 0 vaut 0, la première image est z1 = −0,123 + 0,745i.
2. On élève cette valeur au carré, puis on ajoute c. On obtient z2 = −0,662896 + 0,561730i.
3. Une nouvelle application donne z3 ≈ 0,0008905 + 0,0002629i. Ce troisième point est très proche de l'origine, sans lui être exactement égal.
L'orbite revient donc presque à son départ après trois étapes avec la valeur décimale donnée. Le schéma récapitule cette succession et distingue le retour approché d'un cycle exactement fermé.
Le contrôle est refaisable : le module au carré de z3 vaut environ 0,000000862. Cette petite valeur confirme la proximité avec 0, mais pas une égalité exacte.
En pratique
Pour produire l'image, on fixe c = −0,123 + 0,745i et on teste une grille de points initiaux. Une couleur sépare les orbites qui restent bornées de celles qui s'échappent ; leur frontière révèle la silhouette du lapin.
Pour étudier le rôle du paramètre, on compare plusieurs valeurs de c. L'ensemble de Mandelbrot devient alors le support adapté : il classe les paramètres, tandis que le lapin décrit le comportement obtenu pour un paramètre fixé.
Pour quantifier la finesse de la frontière, la longueur ordinaire ne suffit pas. La dimension de Hausdorff fournit un repère : la valeur annoncée, environ 1,3934, situe le lapin entre une courbe lisse et une surface.
À ne pas confondre
Avec l'ensemble de Mandelbrot. Le critère porte sur ce qui varie. Pour le lapin de Douady, le paramètre c est fixé et l'on observe différents points initiaux. Dans l'ensemble de Mandelbrot, on fait varier c et on suit l'orbite de 0.
Avec l'ensemble de Julia rempli. Le rempli contient tous les points dont l'orbite reste bornée ; l'ensemble de Julia est leur frontière. Un point situé au cœur d'un lobe appartient donc au rempli, mais pas nécessairement à la courbe frontière.
Avec n'importe quelle fractale en forme de lapin. Une ressemblance visuelle ne suffit pas. Le lapin de Douady est identifié par l'itération quadratique et par le paramètre complexe indiqué, pas seulement par une silhouette à trois lobes.
Limites et pièges
Paramètre arrondi. Avec c = −0,123 + 0,745i, l'orbite de 0 revient près de son départ après trois étapes, mais pas exactement : z3 ≈ 0,0008905 + 0,0002629i. Il faut donc conserver le signe ≈ dans tout calcul fondé sur ces décimales.
Autosimilarité visuelle. Retrouver des motifs apparentés en grossissant ne signifie pas que chaque détail est une copie exacte obtenue avec un rapport unique. Il faut décrire une répétition de structure, sans déduire une similitude géométrique stricte.
Dimension non entière. La valeur 1,3934 est annoncée comme une approximation de dimension de Hausdorff. Elle ne représente ni une longueur, ni une aire, ni un nombre de lobes ; elle caractérise la façon dont la frontière occupe le plan aux petites échelles.
Silhouette dépendante du paramètre. La connexité et les trois lobes décrivent le paramètre du lapin de Douady. Changer c peut produire un autre ensemble de Julia ; la forme du lapin ne doit pas être attribuée à toute itération quadratique.
Pour aller plus loin
L'ensemble de Julia replace le lapin dans la famille des frontières obtenues en fixant un paramètre complexe.
L'ensemble de Mandelbrot montre comment les valeurs du paramètre organisent les différents ensembles de Julia.
La dimension de Hausdorff précise le sens mathématique de la valeur non entière associée à cette frontière fractale.
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