point parabolique

Plaçons des points tout près de 0 et appliquons plusieurs fois la règle f(z) = z + z². Sur l'axe réel, un point légèrement négatif avance vers 0, tandis qu'un point légèrement positif s'en éloigne. Pourtant, 0 reste immobile.

Ce comportement à deux visages est typique d'un point parabolique. Autour de lui, le plan complexe se partage localement en zones en forme de pétales : certaines attirent les orbites, d'autres les repoussent.

Considérons une fraction rationnelle R de degré au moins 2, agissant sur la sphère de Riemann, c'est-à-dire le plan complexe auquel on ajoute l'infini. Un nombre complexe z₀ est un point fixe lorsque R(z₀) = z₀. Le multiplicateur de ce point est le nombre dérivé λ = R′(z₀) : il décrit l'effet de R sur un très petit déplacement autour de z₀. Le point fixe est dit parabolique lorsque λ est une racine de l'unité, autrement dit lorsqu'une puissance entière positive de λ vaut 1.

Si q est le plus petit entier positif tel que λ^q = 1, l'itérée R^q fixe encore z₀ et son multiplicateur y vaut 1. Le terme linéaire ne suffit alors plus à décider si les points voisins s'approchent ou s'éloignent. Les premiers termes non linéaires organisent des secteurs locaux appelés pétales. Dans les pétales attractifs, les itérations avancent vers le point parabolique ; les pétales répulsifs décrivent le comportement inverse et alternent avec eux.

Le théorème de Leau-Fatou décrit cette structure locale. Un point parabolique appartient à l'ensemble de Julia, donc à la frontière entre les zones où la famille des itérées a un comportement stable, formant l'ensemble de Fatou, et celles où la dynamique est sensible.

Étudions la fonction f définie par $f(z)=z+z^{2}f(z)=z+z^2$. Les données sont le point fixe candidat 0 et deux points réels proches : −0,1 et 0,05.

1. On vérifie f(0) = 0. La dérivée est f′(z) = 1 + 2z, donc le multiplicateur en 0 vaut f′(0) = 1. Comme 1 est une racine de l'unité, 0 est parabolique.

2. À partir de −0,1, les trois itérations donnent −0,09, puis −0,0819, puis −0,07519239. Ces valeurs restent négatives et leur distance à 0 diminue : ce côté réel traverse un pétale attractif.

3. À partir de 0,05, les résultats sont 0,0525, puis 0,05525625, puis 0,0583095031640625. Ils restent positifs et leur distance à 0 augmente : ce côté montre la direction répulsive.

4. Le contrôle consiste à réappliquer f à chaque résultat. Par exemple, −0,09 + (−0,09)² = −0,0819 et 0,0525 + 0,0525² = 0,05525625. La figure reporte exactement ces deux suites sur l'axe réel ; elle illustre une coupe locale, pas la forme complète des pétales complexes.

Pour tester un candidat fini, on résout d'abord R(z) = z. Il faut aussi examiner si l'infini est fixe dans une coordonnée locale adaptée. Pour chaque point fixe ainsi obtenu, on calcule ensuite le multiplicateur correspondant. Si une puissance entière positive du multiplicateur vaut 1, le point fixe est parabolique ; sinon, il faut employer une autre classification locale.

Pour observer la dynamique, on choisit plusieurs points très proches du point fixe et on itère R. Le calcul du multiplicateur est préférable à la seule inspection d'une image, car un zoom fini peut masquer une approche extrêmement lente.

Pour étudier les pétales lorsque le multiplicateur n'est pas directement égal à 1, on passe à la plus petite itérée R^q dont le multiplicateur vaut 1. On examine alors le premier terme non linéaire autour du point fixe.

Point parabolique et parabole. Le mot « parabolique » classe ici la dynamique locale d'une fonction complexe ; il ne signifie pas que le point appartient à une courbe d'équation quadratique. Le critère qui tranche est le multiplicateur racine de l'unité.

Point parabolique et point critique. Un point critique annule la dérivée. Un point fixe parabolique a au contraire un multiplicateur racine de l'unité, donc non nul. Pour f(z) = z + z², le point 0 est parabolique puisque f′(0) = 1 ; il n'est pas critique.

Point fixe et point périodique. Un point fixe revient après une application de R. Un point de période q supérieure à 1 ne revient qu'après q applications ; son multiplicateur se calcule alors pour R^q.

Le multiplicateur 1 ne signifie pas immobilité du voisinage. Il neutralise seulement le premier ordre. Pour f(z) = z + z², le terme z² fait approcher les petits réels négatifs et éloigne les petits réels positifs ; il faut donc examiner le premier terme non linéaire.

Une racine de l'unité n'est pas toujours égale à 1. Si λ^q = 1 avec q supérieur à 1, l'alternance des pétales se lit pour l'itérée R^q. Étudier seulement une application de R peut masquer cette organisation.

Quelques itérations ne prouvent pas une appartenance à l'ensemble de Julia. Une orbite numérique lente peut sembler presque fixe. Il faut combiner le critère du multiplicateur avec l'analyse locale, plutôt que conclure depuis un nombre arbitraire d'étapes.

Le point à l'infini exige une coordonnée locale. La dérivée usuelle R′(z₀) convient à un point fixe fini. Si le point fixe est l'infini sur la sphère complexe, on change de coordonnée autour de l'infini avant de calculer son multiplicateur.

ensemble de Julia — Situer le point parabolique sur la frontière où se rencontrent des comportements dynamiques différents.

Racine n-ième de l'unité — Approfondir la condition algébrique imposée au multiplicateur d'un point parabolique.