point de Cremer

Imaginez un point que la dynamique ramène sur lui-même après plusieurs étapes. Il ne s'éloigne ni ne se rapproche : autour de lui, le mouvement conserve la même ampleur. Pourtant, même en observant une petite région, il ne se laisse pas décrire comme une simple rotation. C'est cette résistance à la mise en rotation locale qui caractérise un point de Cremer.

Un point de Cremer est un point fixe ou périodique indifférent d'une fraction rationnelle de degré au moins 2 agissant sur la sphère de Riemann. Pour un cycle de période p, le point z₀ revient à sa position après p itérations : $f^p(z_0)=z_{0}f^p(z\_0)=z\_0$. Le multiplicateur est la dérivée de cette itération au point considéré, notée $\lambda =(f^p{)}^{\mathrm{\prime }}(z_0)\backslash lambda=(f^p)\text{'}(z\_0)$ ; l'indifférence signifie que $\mathrm{\mid }\lambda \mathrm{\mid }=1|\backslash lambda|=1$, avec $\lambda =\exp (2\pi i\theta )\backslash lambda=\backslash exp(2\backslash pi\; i\backslash theta)$ et θ réel irrationnel.

Dans le cas d'un multiplicateur de rotation d'angle irrationnel, la condition décisive est la non-linéarisabilité. Elle signifie qu'aucun changement de coordonnées local holomorphe ou analytique ne transforme la dynamique près du point en une rotation. Un point de Siegel possède également un multiplicateur de module 1 et d'angle irrationnel, mais sa dynamique est au contraire conjuguée localement à une rotation. Les multiplicateurs racines de l'unité constituent des cas distincts, qui ne sont ni Cremer ni Siegel. Les points de Cremer appartiennent à l'ensemble de Julia de la fonction, et leur existence est liée à des conditions arithmétiques sur l'angle de rotation associé.

Prenons θ = (√5−1)/2, qui est irrationnel, et posons λ = exp(2πiθ). Considérons la fraction rationnelle quadratique f(z) = z² + λ/2 − λ²/4 et le point z₀ = λ/2. On vérifie immédiatement le retour fixe : f(z₀) = (λ/2)² + λ/2 − λ²/4 = z₀.

Le multiplicateur se calcule ici sans approximation : f'(z) = 2z, donc f'(z₀) = λ. Le point satisfait ainsi les deux premiers tests du cas fixe : retour après une itération et multiplicateur de module 1, d'angle irrationnel. Pour conclure, il reste le test spécialisé : on cherche si un changement de coordonnées local holomorphe ou analytique peut transformer la dynamique près de z₀ en rotation. Ce n'est pas un calcul déduit du seul multiplicateur. Si cette conjugaison existe, le cas est de Siegel ; si elle est impossible, les deux premières conditions et cette impossibilité orientent vers Cremer. Si le test n'est pas établi, il ne permet pas de conclure.

Le verdict est un point de Cremer lorsque ces conditions sont réunies. Le premier établit le caractère périodique, le deuxième l'indifférence irrationnelle et le troisième la non-linéarisabilité. Si la conjugaison locale holomorphe ou analytique à une rotation existe, le point relève plutôt du cas de Siegel ; si le multiplicateur est une racine de l'unité, il s'agit d'un cas distinct.

Dans l'étude d'une fraction rationnelle de degré au moins 2, on commence par suivre les itérations d'un point complexe. Le geste consiste à rechercher un retour exact ou périodique, puis à examiner le multiplicateur au retour.

Lorsque le module du multiplicateur vaut 1, la linéarisation ordinaire ne suffit pas à conclure. Il faut d'abord vérifier que le multiplicateur est une rotation d'angle irrationnel, puis déterminer si une conjugaison locale holomorphe ou analytique à une rotation est possible ; ce critère sépare le comportement de Siegel du comportement de Cremer. Un multiplicateur racine de l'unité relève d'un cas distinct.

Pour situer le point, on examine aussi l'ensemble de Julia de la fonction. Un point de Cremer y appartient, ce qui rappelle que son comportement local ne se détache pas de la dynamique complexe environnante.

Un point de Cremer ne doit pas être confondu avec un point de Siegel. Les deux sont des points fixes ou périodiques indifférents à multiplicateur de rotation d'angle irrationnel : dans les deux cas, le multiplicateur a un module égal à 1 et s'écrit λ = exp(2πiθ), avec θ réel irrationnel. Le critère qui tranche est la conjugaison locale holomorphe. Elle est impossible pour un point de Cremer, tandis qu'elle transforme localement la dynamique en rotation pour un point de Siegel. Les multiplicateurs racines de l'unité correspondent à des cas distincts.

Le retour périodique seul ne suffit pas. Un point périodique peut être attractif, répulsif ou indifférent ; le cas de Cremer, pour une fraction rationnelle de degré au moins 2, exige précisément un multiplicateur de module 1 et d'angle irrationnel. Si ce module diffère de 1, il faut abandonner ce diagnostic.

Le module égal à 1 ne suffit pas davantage. Il faut encore vérifier que l'angle du multiplicateur est irrationnel, puis établir l'impossibilité d'une conjugaison locale holomorphe ou analytique à une rotation. Sans ces informations, le point est seulement indifférent ; un multiplicateur racine de l'unité constitue un cas distinct, et le distinguer d'un point de Siegel serait injustifié.

L'appartenance à l'ensemble de Julia est une propriété annoncée pour les points de Cremer, non un test isolé qui remplacerait les autres. Enfin, lorsque l'ensemble de Julia possède une aire positive, les points de Cremer y résident ; cette condition d'aire ne définit pas à elle seule le point.

À un niveau avancé, le cas quadratique précédent montre la portée exacte du calcul : la fonction et le point peuvent être écrits explicitement, et les deux premiers tests peuvent être vérifiés exactement, sans que cela décide la conjugaison locale. Le statut Cremer ou Siegel dépend donc d'une propriété analytique locale supplémentaire ; des itérations numériques ou le seul multiplicateur ne peuvent pas, à eux seuls, remplacer ce test. La frontière importante est celle-ci : un calcul concret prépare le diagnostic, mais la non-linéarisabilité constitue encore le résultat à établir.