octahexahedron

Imaginez que vous preniez un solide et que vous classiez ses faces d’après leur forme. Un octo-hexaèdre en possède quatorze, réparties en deux familles : huit faces d’un type et six d’un autre. Le premier type, par exemple, réunit huit triangles et six carrés. Un inventaire dessiné rend cette répartition visible sans masquer de face derrière le solide.

Un octo-hexaèdre est un polyèdre à quatorze faces. Sa caractéristique commune est une répartition en deux familles de faces : huit d’un type et six d’un autre. La classification fournie distingue trois types selon la nature de ces faces et, dans certains cas, selon le nombre de sommets ou d’arêtes.

Le type 1 comporte huit triangles et six carrés ; il possède douze sommets et vingt-quatre arêtes. Le type 2 comporte huit hexagones et six carrés. Pour le type 3, la donnée source associe vingt-quatre sommets à la mention « six carrés et huit triangles ou six octogones ». Cette indication est ambiguë et ne constitue pas une caractérisation mathématique établie : la première répartition impliquerait douze sommets, tandis que la seconde ne précise pas les huit autres faces. Aucune répartition du type 3 ne peut donc être retenue sans compléter les quatorze faces.

On examine un octo-hexaèdre de type 1. Les données sont huit faces triangulaires, six faces carrées, douze sommets et vingt-quatre arêtes.

1. On compte les faces par famille : 8 + 6 = 14 faces.

2. On compte les côtés portés par les faces. Les huit triangles en apportent vingt-quatre et les six carrés en apportent également vingt-quatre. Le total est donc de quarante-huit incidences entre une face et un côté.

3. Dans ce polyèdre, chaque arête est commune à deux faces. Le double comptage donne alors :

Le résultat est cohérent : le solide possède bien quatorze faces et vingt-quatre arêtes. Le contrôle est refaisable en recomptant séparément les côtés des triangles et ceux des carrés.

Pour identifier un modèle, on commence par classer toutes ses faces selon leur forme, puis on compte chaque famille. Si le total n’est pas quatorze ou si la répartition n’est pas huit contre six, le modèle ne répond pas à la définition donnée.

Une photographie unique peut cacher plusieurs faces et fausser le comptage. On lui préfère alors un patron, une vue que l’on peut faire tourner ou un inventaire explicite des faces ; le critère observable reste la forme et le nombre de chaque famille.

Pour contrôler le type 1, on peut aussi compter les côtés de toutes les faces. Le total doit être le double du nombre d’arêtes, puisque chaque arête de ce polyèdre borde deux faces.

Un octo-hexaèdre et un polyèdre quelconque à quatorze faces. Le nombre total ne suffit pas : l’octo-hexaèdre exige aussi deux familles comptant respectivement huit et six faces. Un solide à quatorze faces réparties autrement ne satisfait pas ce critère.

Faces, arêtes et sommets. Une face est une surface polygonale, une arête est la jonction de deux faces et un sommet est un point de rencontre. Pour le type 1, les nombres 14, 24 et 12 désignent donc trois éléments différents.

Répartition incomplète du type 3. La mention « six carrés et huit triangles ou six octogones » ne fixe pas clairement les quatorze faces d’une seule variante. Le symptôme est un total impossible à établir sans interprétation ; il faut revenir à une source détaillée avant de classer un solide de ce type.

Comptage sur une vue partielle. Une image plane masque souvent les faces arrière. Si le dénombrement s’arrête aux faces visibles, le total obtenu peut être inférieur à quatorze ; il faut utiliser plusieurs vues ou un patron complet.

Deux familles sans formes identifiées. Les nombres huit et six ne déterminent pas à eux seuls le type 1 ou le type 2. Il faut aussi constater la forme des faces : triangles et carrés pour le premier, hexagones et carrés pour le second.

Le glossaire polyèdre replace l’octo-hexaèdre dans la famille des solides formés de faces polygonales.

L’article À la poursuite de la formule d'Euler prolonge le comptage des faces, des arêtes et des sommets.