Au siècle précédent, plus précisément dans les années 1990, on trouvait dans un manuel de première S l'exercice ci-contre. On laisse au lecteur le soin de le résoudre !
Extrait de Math, Géométrie, 1re S et E. Collection Terracher, Hachette Lycées, 1991.
Il s'agit de montrer que si trois points , et sont situés sur une hyperbole d'équation , l'orthocentre du triangle est aussi un point de .
1° On désigne par , , les abscisses de , , . Déterminer l'équation de la hauteur issue de dans le triangle . En déduire les coordonnées et du point commun à cette hauteur et à l'hyperbole.
2° Montrer (sans calculs) que l'expression de et permet d'affirmer que est l'orthocentre du triangle .
Combien d'hyperboles équilatères par quatre points ?
D'après le théorème de Pascal (voir page 15), on sait qu'une conique est entièrement déterminée par cinq points. On peut alors s'intéresser au nombre minimum de points, tels que trois ne sont jamais alignés, nécessaires pour construire une conique particulière. Par exemple chacun sait qu'un cercle (une ellipse bien particulière) est entièrement déterminé par trois points. Quatre points déterminent-ils une parabole ? Non, il existe en général deux paraboles passant par quatre points. Qu'en est-il de l'hyperbole équilatère ? On dit souvent qu'elle est aux hyperboles ce que le cercle est aux ellipses. Est-elle déterminée par trois points ? Ou par quatre points ?
D'après le résultat de l'exercice précédent, si on connaît trois points , et sur une hyperbole, on en a un quatrième, son orthocentre . Régulièrement, des élèves un peu vifs argumentaient qu'alors puisque l'on a quatre points, on peut à nouveau prendre l'orthocentre des points , et , et on a donc cinq points. Ainsi, comme pour le cercle, une hyperbole équilatère est déterminée par trois points.
Mais l'argument ne tient pas. En faisant une figure, on comprend tout de suite que l'orthocentre du triangle n'est autre que le point . On dit dans ce cas que les quatre points , , et H sont orthocentriques : chacun est l'orthocentre des trois autres.
Et donc, pour revenir à l'hyperbole équilatère, si on a trois points on en a quatre, mais pas plus. Réciproquement, si une conique passe par quatre points orthocentriques, c'est nécessairement une hyperbole, et elle est équilatère.
Alors qu'en est-il du nombre de ces hyperboles équilatères passant par quatre points ?
- • Si ces quatre points ne sont pas orthocentriques, alors avec l'orthocentre de trois d'entre eux, on a cinq points : il n'y a qu'une seule hyperbole équilatère passant par ces quatre points. • Si les quatre points sont orthocentriques, pour tout cinquième point supplémentaire, il existe une hyperbole équilatère et donc par quatre points orthocentriques, il passe une infinité d'hyperboles équilatères.
Neuf points
Considérons quatre points non orthocentriques, , , et : ils déterminent donc une hyperbole équilatère. Quand on déplace le point dans le plan, le lieu des centres de toutes les hyperboles équilatères obtenues est le cercle d'Euler du triangle , c'est-à-dire le cercle circonscrit aux milieux des côtés du triangle, appelé aussi cercle des neuf points.
Ceci étant acquis, en l'appliquant aux quatre triangles , , et , ce centre est l'intersection des cercles d'Euler de ces quatre triangles.
Les coniques réservent de magnifiques surprises géométriques !
