Penelope's game
Le jeu de Pénélope consiste, pour un entier supérieur à 1, à recenser ses écritures comme produit de facteurs entiers strictement supérieurs à 1, sans distinguer celles qui ne diffèrent que par l’ordre. On décompose d’abord les facteurs composés jusqu’à n’obtenir que des facteurs premiers, puis on les regroupe de toutes les manières possibles. Le jeu rend ainsi concrètes la divisibilité et la décomposition multiplicative.
Contents
What you will learn
- Décomposer 24 jusqu’à ses facteurs premiers.
- Énumérer ses sept décompositions multiplicatives sans compter les permutations.
- Distinguer la décomposition première des autres regroupements.
- Traiter correctement 1 et le cas d’un nombre premier.
In plain terms
Prenez 24 et remplacez-le par une multiplication qui vaut 24, par exemple 3 × 8. Puis ouvrez un facteur composé : 8 devient 2 × 4, et 4 devient 2 × 2. La ligne finale est donc 3 × 2 × 2 × 2.
Le jeu de Pénélope poursuit deux idées : défaire le nombre jusqu’aux facteurs premiers, puis retrouver toutes ses autres écritures en produits. Le produit ne change jamais ; seule la manière de regrouper les facteurs change.
Definition
Le jeu de Pénélope est une activité sur les décompositions multiplicatives d’un entier positif. À partir de cet entier, on écrit un produit dont chaque facteur est un entier strictement supérieur à 1. À chaque étape de la descente, un facteur composé est remplacé par plusieurs facteurs dont il est le produit. Le nombre représenté reste inchangé et le nombre de facteurs augmente.
La descente s’arrête quand tous les facteurs sont premiers. On obtient alors la décomposition complète en facteurs premiers. Pour 24, elle est 2 × 2 × 2 × 3. Le théorème fondamental de l’arithmétique garantit que, pour tout entier supérieur à 1, cette décomposition est unique à l’ordre des facteurs près.
Le jeu comporte ensuite une remontée : on regroupe les facteurs premiers de toutes les manières possibles afin d’énumérer les produits encore non écrits. Deux écritures qui ne diffèrent que par l’ordre, comme 2 × 12 et 12 × 2, comptent comme la même décomposition si l’on adopte la convention usuelle d’ignorer l’ordre.
A step-by-step example
Le nombre choisi est 24. Les facteurs doivent être des entiers strictement supérieurs à 1. Deux produits obtenus par simple permutation ne seront comptés qu’une fois.
1. Écrivez 24 sous la forme 3 × 8.
2. Décomposez 8 : 3 × 2 × 4.
3. Décomposez 4 : 3 × 2 × 2 × 2. Tous les facteurs sont alors premiers.
4. Regroupez ces quatre facteurs premiers autrement : 2 × 12, 3 × 8, 4 × 6, 2 × 2 × 6 et 2 × 3 × 4.
5. Ajoutez le produit sans découpage, 24.
2. Décomposez 8 : 3 × 2 × 4.
3. Décomposez 4 : 3 × 2 × 2 × 2. Tous les facteurs sont alors premiers.
4. Regroupez ces quatre facteurs premiers autrement : 2 × 12, 3 × 8, 4 × 6, 2 × 2 × 6 et 2 × 3 × 4.
5. Ajoutez le produit sans découpage, 24.
On obtient exactement sept décompositions multiplicatives de 24 sans tenir compte de l’ordre : 24 ; 2 × 12 ; 3 × 8 ; 4 × 6 ; 2 × 2 × 6 ; 2 × 3 × 4 ; 2 × 2 × 2 × 3. Une carte de regroupements rend visibles leurs longueurs et leur facteur commun.
Le contrôle consiste à multiplier chaque ligne, qui redonne 24, puis à classer les produits par nombre de facteurs : un produit à un facteur, trois à deux facteurs, deux à trois facteurs et un à quatre facteurs.
In practice
Pour explorer un entier comme 24, on choisit un facteur composé et on le découpe jusqu’à n’obtenir que des nombres premiers. Si aucun facteur propre n’est trouvé, le nombre lui-même est premier et la descente s’arrête immédiatement.
Pour dresser la liste complète, on trie les facteurs de chaque produit dans un ordre fixé. Cette convention évite de compter 3 × 8 et 8 × 3 comme deux réponses différentes.
Pour vérifier une proposition, on remultiplie ses facteurs. Si le résultat n’est pas le nombre de départ, la ligne est fausse ; s’il l’est mais qu’une permutation figure déjà dans la liste, la ligne est un doublon.
Not to be confused with
Le jeu de Pénélope ne se réduit pas à la décomposition en facteurs premiers. Celle-ci fournit l’écriture terminale unique, tandis que le jeu recense aussi les regroupements en facteurs composés. Pour 24, 2 × 2 × 2 × 3 est la décomposition première ; 4 × 6 est une autre étape du jeu.
Il ne s’agit pas non plus d’une décomposition additive. Le test est l’opération qui conserve le nombre : 3 × 8 vaut 24 et appartient au jeu, tandis que 3 + 8 vaut 11 et n’en est pas une décomposition.
Limits and pitfalls
Le cas charnière est 1. Comme les facteurs doivent être strictement supérieurs à 1, aucune décomposition en facteurs premiers de 1 n’est produite par le jeu. Il faut traiter 1 séparément, comme produit vide dans les cadres où cette convention est utile.
Si le nombre de départ est premier, la procédure ne se bloque pas par erreur : elle est déjà terminée. Le seul produit autorisé est alors le nombre lui-même, puisque aucune écriture avec au moins deux facteurs supérieurs à 1 n’existe.
L’ordre des facteurs peut créer de faux résultats supplémentaires. Pour éviter ce symptôme, on range systématiquement les facteurs, par exemple du plus petit au plus grand, avant de comparer deux lignes.
Atteindre les facteurs premiers ne prouve pas que tous leurs regroupements ont été recensés. Pour 24, une liste qui omet 4 × 6 reste incomplète même si elle contient 2 × 2 × 2 × 3 ; il faut contrôler séparément chaque nombre possible de facteurs.
Further reading
La décomposition en facteurs premiers approfondit l’écriture terminale qui rend possibles tous les regroupements du jeu.
La fiche sur le nombre premier précise pourquoi 2 et 3 ne peuvent plus être décomposés dans l’exemple de 24.
L’article La factorisation des grands entiers : prolonge l’activité vers le problème du calcul effectif lorsque l’entier devient très grand.
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