Radical of an integer
Le radical d'un entier n, noté rad(n), est le produit de ses facteurs premiers distincts, sans tenir compte des multiplicités. Par exemple, le radical de 12 = 2 au carré fois 3 est rad(12) = 2 fois 3 = 6. Le radical est lié à la conjecture abc, un des problèmes ouverts les plus importants en théorie des nombres : pour des entiers positifs a, b, c premiers entre eux tels que a + b = c, elle relie la croissance de c à celle de rad(a fois b fois c). Cette notion est fondamentale en arithmétique des entiers.
Contents
What you will learn
- Déterminer le radical à partir d'une décomposition en facteurs premiers.
- Vérifier le calcul complet de rad(12).
- Distinguer le radical d'une racine carrée et d'une décomposition complète.
- Repérer les conventions nécessaires pour 0 et les entiers négatifs.
- Relier rad(abc) à la conjecture abc sans confondre ce prolongement avec la définition.
In plain terms
Décomposons 12 en facteurs premiers : 12 = 2 × 2 × 3. Pour former son radical, on garde une seule fois chaque nombre premier rencontré. Les deux facteurs 2 ne comptent donc que pour un seul, tandis que le facteur 3 est conservé. On obtient 2 × 3 = 6. Le radical retient ainsi les « briques premières » présentes dans un entier, mais oublie combien de fois chacune apparaît.
Definition
Le radical est une fonction arithmétique définie d'abord sur les entiers positifs. Pour un entier positif n, on décompose n en puissances de nombres premiers distincts. Si ces nombres premiers sont notés p1, …, pk et leurs exposants positifs α1, …, αk, la décomposition et le radical s'écrivent :
Les exposants n'interviennent pas dans le second produit : seul l'ensemble des facteurs premiers de n est conservé. Ainsi, 12 = 22 × 3 donne rad(12) = 2 × 3 = 6. Le résultat est toujours sans facteur carré et divise n. Pour n = 1, le produit ne contient aucun facteur premier ; la convention du produit vide donne rad(1) = 1. Pour un entier négatif, on peut poser rad(n) = rad(|n|), mais cette extension doit être annoncée.
A step-by-step example
Prenons l'entier 12. Les données sont le nombre à étudier, 12, et sa décomposition en facteurs premiers, 2 × 2 × 3. Le but est d'obtenir le produit où chaque facteur premier présent ne figure qu'une fois.
1. Regrouper les facteurs identiques donne 12 = 22 × 3.
2. Retenir une occurrence de 2 et une occurrence de 3.
3. Multiplier les facteurs distincts : rad(12) = 2 × 3 = 6.
2. Retenir une occurrence de 2 et une occurrence de 3.
3. Multiplier les facteurs distincts : rad(12) = 2 × 3 = 6.
Le résultat est donc 6. Pour contrôler le calcul, on vérifie que 6 divise 12 et que ses seuls facteurs premiers sont exactement 2 et 3. La figure matérialise la suppression de la seconde occurrence de 2 sans retirer le facteur premier 2 lui-même.
In practice
Pour savoir quels nombres premiers divisent un entier, son radical fournit un résumé direct. Avec 12, le résultat 6 signale la présence de 2 et de 3. Si les multiplicités sont nécessaires, il faut conserver la décomposition complète 22 × 3.
Pour comparer le support premier de deux entiers positifs, on peut comparer leurs radicaux. Deux radicaux égaux indiquent exactement les mêmes facteurs premiers, même si leurs exposants diffèrent. Si l'on veut comparer les puissances de ces facteurs, les radicaux ne suffisent pas.
En théorie des nombres, le radical intervient notamment dans la conjecture abc. Pour des entiers positifs a, b et c premiers entre eux vérifiant a + b = c, rad(abc) rassemble les facteurs premiers distincts présents dans au moins l'un des trois nombres. La conjecture affirme que, pour tout ε > 0, il existe une constante Kε telle que, pour tous ces triplets, c ≤ Kε rad(abc)1 + ε. Si les multiplicités doivent rester visibles, il faut employer la décomposition complète de abc plutôt que son radical.
Not to be confused with
Radical et racine carrée. La racine carrée principale d'un nombre positif est l'unique nombre non négatif dont le carré redonne ce nombre ; l'équation x2 = a possède, elle, deux solutions opposées lorsque a > 0. Le radical arithmétique multiplie ses facteurs premiers distincts. Pour 12, √12 n'est pas 6, tandis que rad(12) = 6.
Radical et décomposition en facteurs premiers. La décomposition conserve chaque exposant ; le radical les efface. Ainsi, 12 = 22 × 3 contient l'exposant 2, alors que rad(12) = 2 × 3. On choisit la décomposition complète dès que les multiplicités comptent.
Limits and pitfalls
Le cas de 1. Aucun nombre premier ne divise 1. Le produit vide vaut 1, donc rad(1) = 1 ; chercher un facteur premier à conserver conduirait ici à une fausse impasse.
Les facteurs répétés. Le radical ne permet pas de reconstruire l'entier. Par exemple, 6 et 12 ont tous deux pour radical 6, bien que 6 = 2 × 3 et 12 = 22 × 3. Il faut garder les exposants pour retrouver le nombre initial.
Les entiers négatifs. La définition par produit de facteurs premiers vise directement les entiers positifs. Pour un entier négatif n, la convention rad(n) = rad(|n|) est possible, mais elle doit être précisée avant tout calcul.
Le cas de 0. Tous les nombres premiers divisent 0, si bien que le produit des facteurs premiers distincts n'est pas un produit fini. La définition élémentaire ne s'applique donc pas directement ; une valeur comme rad(0) = 0 relève d'une convention explicite.
Further reading
Le radical devient plus parlant quand on maîtrise les briques qu'il conserve. La fiche nombre premier précise leur rôle dans la divisibilité des entiers.
La décomposition en facteurs premiers montre comment obtenir les facteurs et leurs exposants avant de supprimer les multiplicités.
L'article Conjecture abc : la preuve que personne ne comprend sera vérifiée par ordinateur replace le radical dans le problème ouvert auquel il est lié.
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