regulated function

Imaginez une courbe faite de marches horizontales. En multipliant les marches, on peut serrer certaines fonctions d'aussi près que l'on veut, avec une même marge d'erreur partout sur l'intervalle. Une fonction que l'on peut ainsi approcher est dite réglée.

Elle peut présenter des sauts, mais pas une agitation sans limite au voisinage d'un point : de chaque côté, ses valeurs doivent tendre vers une valeur déterminée.

Soit I un intervalle compact et soit f une fonction définie sur I. La fonction f est réglée s'il existe une suite de fonctions en escalier, notée (φ_n), qui converge uniformément vers f. Autrement dit, la plus grande erreur entre f et φ_n sur tout l'intervalle tend vers zéro :

Un critère équivalent consiste à examiner les limites latérales : en tout point intérieur de I, f possède une limite finie à gauche et une limite finie à droite. Aux extrémités appartenant à I, seul le côté situé dans l'intervalle intervient. Toute fonction continue et toute fonction monotone sur I est donc réglée. Les fonctions réglées sont stables par addition et par multiplication par un nombre. Elles sont intégrables au sens de Riemann sur un intervalle compact.

Quatre éléments structurent la notion. L'intervalle I fixe le domaine où toutes les erreurs sont comparées. La fonction f est l'objet à approcher. Chaque fonction en escalier φ_n prend un nombre fini de valeurs sur des morceaux d'intervalle. Enfin, l'indice n organise ces approximations en une suite.

Le découpage de φ_n détermine ses marches, tandis que la hauteur de ces marches détermine l'erreur avec f. Pour obtenir une convergence uniforme, une seule borne d'erreur doit convenir simultanément à tous les points de I. Le tracé, la couleur ou l'échelle du dessin ne font pas partie de la définition. Ces données suffisent à construire une approximation et à contrôler sa plus grande erreur.

Sur l'intervalle [0, 1], considérons la fonction f qui vaut 0 lorsque x est strictement inférieur à 1/2, et 1 lorsque x est supérieur ou égal à 1/2. Les données sont donc l'intervalle [0, 1], le point de saut 1/2 et les deux valeurs 0 et 1.

La fonction f possède déjà deux marches horizontales : elle est donc réglée, avec une erreur nulle si on la choisit elle-même comme approximation. Pour voir comment se construit et s'affine une approximation non triviale, prenons aussi g(x) = x sur [0, 1].
1. Découpons [0, 1] en 2ⁿ morceaux de même largeur 1/2ⁿ.
2. Sur chaque morceau, définissons φ_n comme la hauteur constante donnée par la valeur de g au milieu du morceau.
3. Tout point se trouve à une distance au plus égale à la moitié de cette largeur : la plus grande erreur |g(x) − φ_n(x)| vaut donc 1/2ⁿ⁺¹.
4. Avec quatre morceaux, elle vaut 1/8 ; avec huit morceaux, 1/16. Chaque affinage la divise par deux, elle tend donc vers 0 : g est elle aussi réglée.

Le contrôle par les limites latérales donne le même verdict : au point 1/2, la limite à gauche vaut 0 et la limite à droite vaut 1. Enfin, l'aire de Riemann sous la courbe vaut 0 × 1/2 + 1 × 1/2 = 1/2. La figure matérialise le saut et les deux marches utilisées dans ces vérifications.

Pour reconnaître une fonction réglée, on peut chercher des limites finies à gauche et à droite en chaque point. Ce critère est souvent plus direct que la construction explicite d'une suite de fonctions en escalier.

Pour approcher une fonction réglée, on découpe l'intervalle en morceaux puis on remplace les valeurs par des hauteurs constantes. On affine le découpage jusqu'à ce que la plus grande erreur soit inférieure à la précision souhaitée.

Pour intégrer sur un intervalle compact, les marches transforment le calcul en une somme d'aires de rectangles. Si une formule directe est disponible, elle est plus rapide ; l'approximation en escalier fournit cependant la construction et le contrôle d'erreur.

Fonction continue. Une fonction continue ne présente aucun saut : sa valeur coïncide avec la limite au point considéré. Une fonction réglée peut sauter. Dans l'exemple, les limites latérales en 1/2 existent mais valent respectivement 0 et 1 ; la fonction est réglée sans être continue.

Fonction en escalier. Elle est constante sur un nombre fini de morceaux, tandis qu'une fonction réglée peut seulement être une limite uniforme de telles fonctions. Toute fonction en escalier est réglée, mais une fonction continue non constante, comme la fonction x ↦ x sur [0, 1], est réglée sans être en escalier.

Un saut n'est pas un obstacle. Au point 1/2 de l'exemple, les deux limites latérales sont différentes. Le symptôme est une rupture du tracé, mais chaque côté possède une limite finie ; il faut donc appliquer le critère latéral, pas exiger la continuité.

Le contrôle doit être uniforme. Une approximation qui devient bonne séparément en chaque point ne suffit pas. Il faut mesurer la plus grande erreur sur tout l'intervalle et vérifier qu'elle tend vers zéro.

Les extrémités n'ont qu'un côté intérieur. En 0, on examine la limite à droite ; en 1, la limite à gauche. Demander deux limites latérales aux bords ajouterait une condition qui n'a pas de sens dans le domaine [0, 1].

Intégrable ne signifie pas posséder une primitive. La fonction de l'exemple est réglée et intégrable au sens de Riemann, mais aucune dérivée ne peut avoir un saut simple de 0 à 1. Il ne faut donc pas déduire l'existence d'une primitive de la seule propriété d'être réglée.

La fonction en escalier détaille les approximations constantes par morceaux qui servent de briques à la définition.

La fonction continue permet de situer une sous-classe importante de fonctions réglées et de préciser ce qui change lorsqu'un saut apparaît.