Separably closed

Imaginez un corps de nombres dans lequel on cherche les solutions d’une équation polynomiale. Pour les polynômes séparables, c’est-à-dire ceux dont les racines n’ont pas de répétition, toutes les racines sont déjà dans ce corps. Il n’est donc pas nécessaire de l’agrandir par une extension séparable finie.

Le mot « séparablement » est essentiel : le corps contient toute l’information obtenue par des racines distinctes, mais il peut encore manquer des racines liées à un phénomène de répétition en caractéristique positive.

Un corps K est séparablement clos lorsque tout polynôme séparable appartenant à K[X] se scinde sur K. Ici, K[X] désigne l’ensemble des polynômes en une indéterminée X à coefficients dans K, et « se scinder » signifie s’écrire comme un produit de facteurs du premier degré à coefficients dans K.

Un polynôme est séparable lorsque ses racines, dans un corps qui les contient, sont toutes distinctes. Cette condition est équivalente à l’absence de racine commune entre le polynôme et sa dérivée, lorsque la dérivée n’est pas nulle. La propriété de séparation concerne donc la nature des polynômes considérés, et non tous les polynômes sans distinction.

La formulation en termes d’extensions est équivalente : toute extension finie et séparable de K est égale à K. Une clôture algébrique impose en plus la présence des extensions purement inséparables ; un corps séparablement clos n’impose pas cette propriété supplémentaire.

Prenons K = ℂ, le corps des nombres complexes, et le polynôme f(X) = X² − 2. La dérivée de f est f′(X) = 2X. Les deux expressions n’ont aucune racine commune, donc f est séparable.

Les racines de f sont √2 et −√2. Elles appartiennent toutes deux à ℂ, et l’on peut écrire f comme produit de deux facteurs du premier degré :

Ainsi, ajouter une racine de f à ℂ ne crée pas un corps plus grand : √2 est déjà un nombre complexe. Cet exemple illustre le critère dans ℂ ; il ne suffit pas, à lui seul, à établir la propriété pour un corps quelconque.

Pour lire le critère sur un polynôme donné, on fixe le corps K et l’on considère un polynôme séparable à coefficients dans K. On vérifie ensuite que chacune de ses racines appartient déjà à K, ou de façon équivalente que sa factorisation complète ne demande aucun agrandissement du corps. Cette vérification ne suffit pas, à elle seule, à établir que K est séparablement clos : la définition exige le même résultat pour tout polynôme séparable de K[X].

Dans un corps séparablement clos, toute extension finie obtenue par des éléments séparables est donc triviale. Cette lecture est particulièrement utile lorsqu’un problème de théorie des corps ou de théorie de Galois parle d’extensions séparables plutôt que de polynômes.

Un corps séparablement clos n’est pas défini comme un corps contenant les racines de tous les polynômes. Il suffit de considérer les polynômes séparables. La clôture algébrique, elle, contient les racines de tous les polynômes algébriques et peut donc être plus grande.

Il ne faut pas non plus confondre « extension séparable » et « extension finie » : la caractérisation donnée par la source porte sur les extensions qui sont à la fois finies et séparables. Une extension infinie ou une extension non séparable ne relève pas directement de ce critère.

En caractéristique nulle, tout polynôme irréductible est séparable. Dans ce cadre, être séparablement clos revient donc à être algébriquement clos. Cette équivalence ne doit pas être étendue sans précaution aux corps de caractéristique positive.

En caractéristique p > 0, un polynôme peut avoir une dérivée nulle et une racine multiple. Par exemple, un polynôme de la forme Xᵖ − a peut ne pas être séparable. Un corps séparablement clos peut alors ne pas contenir la racine p-ième concernée : l’absence d’extension séparable ne garantit pas l’absence d’extension purement inséparable.

Enfin, la propriété n’affirme pas que tout polynôme se factorise de la même manière dans n’importe quelle extension. Elle affirme que les racines séparables sont déjà présentes dans le corps de départ ; le cadre du polynôme et la séparabilité doivent être vérifiés avant toute conclusion.

La clôture séparable d’un corps K est l’extension obtenue en adjoignant toutes les racines séparables possibles de polynômes à coefficients dans K, dans un corps algébriquement clos fixé. Elle constitue l’analogue adapté de la clôture algébrique lorsque l’on veut isoler la partie séparable des extensions.

La théorie de Galois étudie précisément les symétries des extensions séparables normales. Un corps séparablement clos est le point où cette recherche d’extensions séparables finies s’arrête : il n’y a plus de corps strictement plus grand à obtenir par ce procédé.