Separable closure
La clôture séparable d'un corps K est la plus petite extension de K dans laquelle tout polynôme séparable à coefficients dans K est scindé. Un polynôme est séparable s'il n'a pas de racine multiple dans une clôture algébrique. En caractéristique nulle ou pour les corps finis, tout polynôme irréductible est séparable, donc la clôture séparable coïncide avec la clôture algébrique. En caractéristique p, la distinction entre extensions séparables et inséparables est essentielle en théorie de Galois.
Contents
What you will learn
- Définir la clôture séparable dans une clôture algébrique fixée.
- Tester la séparabilité d'un polynôme avec sa dérivée formelle.
- Distinguer clôture séparable et clôture algébrique sur 𝔽₂(t).
In plain terms
Imaginez que l'on agrandisse un corps juste assez pour y accueillir toutes les racines qui restent distinctes. La clôture séparable rassemble ces racines sans ajouter celles qui proviennent uniquement de phénomènes de multiplicité propres à la caractéristique positive.
Dans le corps des fractions rationnelles à coefficients dans 𝔽2, le polynôme X² + X + t a deux racines distinctes dans cette clôture. En revanche, X² − t n'y livre pas sa racine : celle-ci est purement inséparable.
Definition
On fixe un corps K et une clôture algébrique de K. La clôture séparable de K, notée Ksep, est le sous-corps formé des éléments de la clôture algébrique qui sont séparables sur K. Autrement dit, le polynôme minimal sur K de chacun de ces éléments n'a pas de racine multiple. Dans ce cadre fixé, Ksep est la plus petite extension où tout polynôme séparable à coefficients dans K se scinde en facteurs linéaires. Sans choix préalable d'une clôture algébrique, elle est déterminée à K-isomorphisme près.
Un polynôme est séparable lorsque ses racines dans une clôture algébrique sont toutes distinctes. Pour un polynôme irréductible, on peut le tester avec sa dérivée formelle : il est séparable si son plus grand commun diviseur avec sa dérivée vaut 1. En caractéristique nulle et sur tout corps fini, chaque polynôme irréductible est séparable. La clôture séparable est alors toute la clôture algébrique.
En caractéristique p positive, certains polynômes irréductibles ont une dérivée nulle et peuvent être inséparables. La clôture algébrique contient aussi leurs racines, tandis que Ksep les exclut lorsqu'elles ne sont pas séparables sur K. Cette différence est centrale en théorie de Galois, qui décrit les automorphismes de Ksep fixant K.
A step-by-step example
Prenons le corps K = 𝔽2(t), formé des fractions rationnelles en t à coefficients dans le corps à deux éléments. Comparons le polynôme f(X) = X² + X + t au polynôme g(X) = X² − t. Le paramètre t n'est pas un carré dans K.
1. La dérivée formelle de f vaut 1. Le polynôme f n'a donc aucune racine multiple et il est séparable.
2. Si α est une racine de f, alors α + 1 est l'autre racine, car le calcul se fait en caractéristique 2.
3. Les deux racines appartiennent à Ksep, et f s'y scinde :
2. Si α est une racine de f, alors α + 1 est l'autre racine, car le calcul se fait en caractéristique 2.
3. Les deux racines appartiennent à Ksep, et f s'y scinde :
4. La dérivée de g vaut 0. Dans une clôture algébrique, g possède une unique racine β, comptée deux fois, avec β² = t.
5. Comme X² − t est irréductible sur K et inséparable, β n'appartient pas à Ksep. Le contrôle consiste à retrouver deux racines distinctes pour f, mais une racine double pour g.
5. Comme X² − t est irréductible sur K et inséparable, β n'appartient pas à Ksep. Le contrôle consiste à retrouver deux racines distinctes pour f, mais une racine double pour g.
In practice
Pour savoir si une extension algébrique simple entre dans Ksep, on examine le polynôme minimal de son générateur. Si ce polynôme est premier avec sa dérivée, le générateur est séparable et appartient à la clôture séparable choisie.
En caractéristique nulle ou sur un corps fini, cette vérification ne sépare aucun cas pour les polynômes irréductibles : ils sont tous séparables. On travaille alors directement dans une clôture algébrique.
Sur un corps imparfait de caractéristique p, une dérivée nulle signale qu'il faut vérifier une possible extension purement inséparable. Pour K = 𝔽2(t), le contraste entre X² + X + t et X² − t fournit ce diagnostic.
Not to be confused with
Clôture séparable et clôture algébrique. La seconde contient les racines de tous les polynômes non constants, y compris les racines purement inséparables. Dans K = 𝔽2(t), une racine β de X² − t appartient à la clôture algébrique, mais pas à Ksep.
Polynôme séparable et polynôme scindé. « Séparable » signifie que les racines sont distinctes dans une clôture algébrique ; « scindé sur K » signifie qu'elles appartiennent déjà à K. Le polynôme X² + X + t est séparable sur 𝔽2(t), sans nécessairement y être scindé.
Extension séparable et clôture séparable. Une extension séparable est une extension algébrique dont chaque élément est séparable sur K. La clôture séparable est une extension particulière, maximale parmi les extensions algébriques séparables placées dans la clôture algébrique choisie.
Limits and pitfalls
La « plus petite extension » suppose un cadre. À l'intérieur d'une clôture algébrique fixée, Ksep est un sous-corps précis. Sans ce choix, deux clôtures séparables sont seulement isomorphes au-dessus de K ; il ne faut pas les traiter comme un même ensemble canonique.
Une dérivée nulle n'est pas, à elle seule, le verdict complet pour un polynôme quelconque. Elle indique que tous les exposants sont multiples de p. Pour conclure sur une racine donnée, il faut revenir à son polynôme minimal irréductible et tester sa séparabilité.
La caractéristique positive ne force pas une différence. Les corps finis sont parfaits : leurs polynômes irréductibles sont séparables, et leur clôture séparable coïncide avec leur clôture algébrique. La distinction apparaît notamment pour des corps imparfaits comme 𝔽2(t).
Ksep n'est généralement pas algébriquement clos. Il ne manque aucun zéro de polynôme séparable sur K, mais une équation purement inséparable peut encore n'y avoir aucune solution. Il faut passer à la clôture algébrique pour réunir aussi ces racines.
Further reading
La fiche Séparable (polynôme) approfondit le critère des racines distinctes et le rôle de la dérivée formelle.
La fiche Séparable (extension) précise comment la séparabilité se transmet de chaque élément à une extension algébrique entière.
La caractéristique d'un corps explique pourquoi la dérivée et les multiplicités se comportent autrement lorsque la caractéristique vaut p.
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