Sum of the reciprocals of the primes
La série inverse des nombres premiers est la série dont les termes sont les inverses des nombres premiers, classés par ordre croissant : S = 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + 1/13 + 1/17 + ... Cette série diverge, bien que la proportion π(x)/x de nombres premiers parmi les entiers jusqu’à x tende vers 0 lorsque x tend vers l’infini. Ce résultat, démontré par Euler, est remarquable car il indique que les nombres premiers sont suffisamment nombreux pour que leurs inverses aient une somme infinie.
Contents
What you will learn
- Définir la série et ses sommes partielles avec des notations introduites en mots.
- Calculer exactement les six premiers termes jusqu’au seuil 13.
- Interpréter la divergence comme l’absence de borne pour les sommes partielles.
- Distinguer la série de la suite de ses termes et de la série harmonique.
- Éviter de conclure à partir de termes qui tendent vers zéro ou d’un calcul fini.
In plain terms
Prenez les nombres premiers dans l’ordre : 2, 3, 5, 7, 11, 13… Remplacez chacun par son inverse, puis additionnez : 1/2, puis 1/3, puis 1/5, et ainsi de suite. Les morceaux ajoutés deviennent de plus en plus petits, car les nombres premiers grandissent.
Pourtant, la somme ne finit pas par se stabiliser autour d’une valeur. En poursuivant aussi loin que l’on veut, elle peut dépasser toute borne fixée : c’est le sens précis de sa divergence.
Definition
La série inverse des nombres premiers additionne les nombres 1/p lorsque la variable p parcourt tous les nombres premiers. Elle s’écrit . L’ordre croissant 2, 3, 5, 7, 11… sert à former ses sommes partielles sans omettre de terme.
Pour un réel positif x, la somme partielle notée S(x) conserve seulement les nombres premiers p inférieurs ou égaux à x : . Tous les termes sont positifs, donc S(x) augmente lorsque x augmente. Dire que la série diverge signifie ici que ces sommes partielles ne sont majorées par aucun nombre réel : .
Les termes 1/p tendent pourtant vers zéro et les nombres premiers deviennent moins denses parmi les entiers. Ces deux constats ne suffisent donc pas à assurer la convergence. Le résultat de divergence est attribué à Euler. Cette fiche en précise le sens et les pièges, sans reproduire sa démonstration ; la ressource consacrée au théorème des nombres premiers, proposée dans « Pour aller plus loin », permet de prolonger l’étude de la répartition des nombres premiers qui nourrit ce paradoxe.
What it is made of
La série repose sur quatre éléments. L’index p ne prend que des valeurs premières. Le terme 1/p associe à chaque premier son inverse. L’ordre croissant fixe la suite 1/2, 1/3, 1/5, 1/7… La somme partielle S(x) additionne les termes dont l’index ne dépasse pas x.
Le choix des indices détermine donc les termes présents, tandis que le seuil x détermine combien d’entre eux entrent dans le calcul. Quand x franchit un nombre premier p, S(x) augmente exactement de 1/p ; entre deux nombres premiers successifs, elle ne change pas. Ces données suffisent à construire chaque somme partielle et à étudier si leur ensemble reste borné. La divergence concerne cette évolution globale, pas la taille d’un terme isolé.
A step-by-step example
Calculons la somme partielle arrêtée au nombre premier 13. Les données sont les six premiers nombres premiers : 2, 3, 5, 7, 11 et 13. Chaque étape ajoute l’inverse du nombre suivant.
1. On part de S(2) = 1/2.
2. On ajoute 1/3 : S(3) = 1/2 + 1/3 = 5/6.
3. On ajoute successivement 1/5 puis 1/7 : S(5) = 31/30 et S(7) = 247/210.
4. Les deux derniers ajouts donnent S(11) = 2927/2310, puis .
Le contrôle est immédiat : chaque résultat dépasse le précédent du terme annoncé. Par exemple, 40361/30030 − 2927/2310 = 1/13. La figure matérialise ces marches : elles rétrécissent, mais restent toutes positives. Ce calcul fini illustre la croissance des sommes partielles ; à lui seul, il ne démontre pas leur divergence.
In practice
Pour calculer une approximation finie, on choisit un seuil x, on énumère les nombres premiers jusqu’à x et on additionne leurs inverses. Une somme exacte de fractions convient pour quelques termes ; une approximation décimale devient plus pratique lorsque la liste s’allonge.
Pour tester une affirmation de convergence, il faut observer les sommes partielles plutôt que les seuls termes 1/p. Le fait que 1/p se rapproche de zéro est nécessaire à une éventuelle convergence, mais la série donnée montre que ce test ne suffit pas.
Pour comparer avec une somme portant sur tous les entiers positifs, la série harmonique est l’alternative naturelle. Le critère observable est l’ensemble des dénominateurs : tous les entiers pour celle-ci, seulement les nombres premiers pour la série étudiée.
Not to be confused with
La série harmonique. Elle additionne 1/n pour chaque entier positif n, alors que la série inverse des nombres premiers ne garde que les dénominateurs premiers. Le terme 1/4 tranche aussitôt : il appartient à la série harmonique, mais pas à la série étudiée.
La suite des inverses des nombres premiers. La suite 1/2, 1/3, 1/5… décrit les termes pris séparément et tend vers zéro. La série désigne leur addition cumulative. Ainsi, 1/5 est un terme de la suite, tandis que 1/2 + 1/3 + 1/5 = 31/30 est une somme partielle de la série.
Limits and pitfalls
Des termes proches de zéro ne donnent pas un verdict. Ici, 1/p tend vers zéro, mais la somme diverge. Le bon réflexe consiste à étudier les sommes partielles et leur éventuelle borne, pas seulement la limite du terme général.
Un grand calcul fini ne prouve pas une somme infinie. Au seuil 13, S(13) = 40361/30030 environ égal à 1,344. Ce nombre décrit seulement six termes. Pour conclure à la divergence, il faut établir que les sommes partielles dépassent toute borne lorsque le seuil augmente.
La raréfaction des nombres premiers n’impose pas la convergence. L’écart croissant entre les dénominateurs peut donner l’impression que les ajouts deviennent négligeables assez vite. Le résultat d’Euler montre précisément que leur accumulation reste sans borne.
Further reading
série harmonique — Comparer une somme sur tous les entiers avec la sous-somme qui ne conserve que les dénominateurs premiers.
L'inépuisable théorème des nombres premiers — Approfondir la répartition des nombres premiers qui nourrit le paradoxe présenté ici, sans confondre ce prolongement avec une démonstration de la divergence.
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