Theon of Smyrna's algorithm
Algorithme antique permettant d'approcher la valeur de √2 par des fractions rationnelles. À partir de x₀ = y₀ = 1, il construit deux suites d'entiers : xₙ, le nombre latéral, et yₙ, le nombre diagonal. En notations modernes, elles suivent les récurrences xₙ₊₁ = xₙ + yₙ et yₙ₊₁ = 2xₙ + yₙ ; les quotients yₙ/xₙ convergent vers √2.
Contents
What you will learn
- Reconnaître les nombres latéraux et diagonaux.
- Appliquer les deux récurrences depuis (1, 1).
- Calculer les quotients jusqu'à 41/29 et comprendre leur rapprochement de √2.
- Distinguer une approximation rationnelle d'une égalité exacte.
In plain terms
On part de deux nombres égaux à 1, puis on fabrique à chaque tour un nouveau couple en additionnant et en doublant. Les premiers couples sont (1, 1), (2, 3), (5, 7), (12, 17) et (29, 41).
Dans chaque couple, le nombre diagonal divisé par le nombre latéral donne une fraction. Ces fractions valent successivement 1, 3/2, 7/5, 17/12 et 41/29 : elles se rapprochent de √2, sans que cette racine soit jamais remplacée par une fraction exacte.
Definition
L'algorithme de Théon de Smyrne est une procédure arithmétique qui construit deux suites d'entiers pour fournir des approximations rationnelles de √2. Le terme xₙ désigne le nombre latéral au rang n, et le terme yₙ désigne le nombre diagonal au même rang. Le rang n est un entier naturel commençant par 0.
La construction part de x₀ = y₀ = 1. À chaque passage au rang suivant, le nouveau nombre latéral est la somme des deux termes précédents, tandis que le nouveau nombre diagonal ajoute au terme diagonal le double du nombre latéral :
Le quotient yₙ/xₙ est une fraction rationnelle, car ses deux termes sont entiers et xₙ est non nul dans cette construction. Les quotients successifs convergent vers √2 : ils donnent donc une suite d'approximations, et non une égalité entre un nombre rationnel et √2.
The principle
Pour appliquer la règle, on commence par le couple (x₀, y₀) = (1, 1). Si le couple courant est (xₙ, yₙ), le couple suivant est obtenu dans cet ordre : le nouveau latéral vaut xₙ + yₙ, puis le nouveau diagonal vaut 2xₙ + yₙ. Le quotient du diagonal par le latéral au rang obtenu fournit l'approximation suivante de √2.
When to use it
La règle s'applique à la construction précise qui commence par x₀ = y₀ = 1 et qui conserve les deux récurrences indiquées. Les termes sont des entiers, le rang est un entier naturel et le dénominateur xₙ doit rester non nul pour former le quotient yₙ/xₙ.
Avec le couple initial (1, 1), les termes deviennent positifs et le quotient est défini à chaque rang. Un couple de départ modifié, ou une règle qui remplace une addition par une autre opération, produit une autre suite : la convergence vers √2 ne peut alors pas être attribuée automatiquement à l'algorithme décrit ici.
A step-by-step example
On suit la construction depuis le couple initial (1, 1) jusqu'au quatrième passage. Le nombre latéral est xₙ et le nombre diagonal est yₙ ; l'approximation observée est toujours yₙ/xₙ.
Données : x₀ = 1 ; y₀ = 1 ; quatre applications de la récurrence ; √2 ≈ 1,41421356.
1. Au rang 1, x₁ = 1 + 1 = 2 et y₁ = 2×1 + 1 = 3, donc y₁/x₁ = 3/2 = 1,5.
2. Au rang 2, x₂ = 2 + 3 = 5 et y₂ = 2×2 + 3 = 7, donc y₂/x₂ = 7/5 = 1,4.
3. Au rang 3, x₃ = 5 + 7 = 12 et y₃ = 2×5 + 7 = 17, donc y₃/x₃ = 17/12 ≈ 1,4167.
4. Au rang 4, x₄ = 12 + 17 = 29 et y₄ = 2×12 + 17 = 41, donc y₄/x₄ = 41/29 ≈ 1,4138.
2. Au rang 2, x₂ = 2 + 3 = 5 et y₂ = 2×2 + 3 = 7, donc y₂/x₂ = 7/5 = 1,4.
3. Au rang 3, x₃ = 5 + 7 = 12 et y₃ = 2×5 + 7 = 17, donc y₃/x₃ = 17/12 ≈ 1,4167.
4. Au rang 4, x₄ = 12 + 17 = 29 et y₄ = 2×12 + 17 = 41, donc y₄/x₄ = 41/29 ≈ 1,4138.
Le rapport 41/29 est plus proche de √2 que 17/12 : l'écart absolu passe d'environ 0,00245 à environ 0,00042. Le contrôle consiste à recalculer le couple suivant ; les additions donnent bien (29, 41). La figure résume cette progression vers √2.
In practice
Pour obtenir une approximation calculable de √2, on peut produire quelques couples d'entiers, puis diviser le nombre diagonal par le nombre latéral. Le rang choisi dépend de la précision recherchée.
Cette méthode est utile lorsque l'on veut faire apparaître la convergence avec des additions et des multiplications entières. Une calculatrice ou une méthode numérique générale devient préférable si l'objectif est seulement d'obtenir beaucoup de décimales rapidement.
Not to be confused with
Une approximation rationnelle n'est pas la valeur exacte de √2. Le quotient 41/29 est une fraction d'entiers et vaut environ 1,4138, tandis que √2 vaut environ 1,4142 ; les écritures ne coïncident donc pas.
Il ne faut pas non plus confondre le nombre latéral et le nombre diagonal. Dans le couple (29, 41), 29 est x₄, le latéral, et 41 est y₄, le diagonal ; inverser le quotient donnerait 29/41, qui n'approche pas √2.
Limits and pitfalls
Le quotient initial y₀/x₀ vaut exactement 1, alors que √2 ≈ 1,4142 ; l'algorithme ne fournit donc pas une approximation également précise à tous les rangs. Il faut poursuivre les récurrences pour réduire l'écart.
Les valeurs 3/2 et 7/5 montrent aussi que les approximations peuvent être alternativement au-dessus et au-dessous de √2. Le symptôme d'une erreur de lecture est un quotient qui ne correspond pas au couple du même rang ; il faut alors réassocier chaque yₙ à son xₙ avant de conclure.
Enfin, une décimale arrondie ne doit pas être écrite avec un signe égal. Ainsi 41/29 ≈ 1,4138, tandis que l'identité exacte est 41/29 = 41/29 ; le symbole ≈ signale le passage à une valeur décimale arrondie.
Further reading
Le glossaire Théon de Smyrne situe l'auteur et permet de replacer cet algorithme dans les savoirs mathématiques qui lui sont associés.
L'article La théorie de l’approximation élargit la question : il montre comment évaluer et comparer l'écart entre une valeur recherchée et une valeur approchée.
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