three-body problem
Le problème des trois corps consiste à déterminer, à partir de leurs positions et vitesses initiales, le mouvement de trois corps ponctuels de masses données qui n'interagissent que par la gravitation newtonienne. Chacun attire les deux autres : leurs trajectoires sont donc couplées et, contrairement au cas de deux corps, il n'existe pas de solution analytique générale simple. On l'étudie pour prévoir des mouvements célestes, le plus souvent à l'aide de solutions particulières ou de méthodes numériques.
Contents
What you will learn
- Identifier les trois interactions mutuelles qui couplent les mouvements.
- Distinguer le problème général du problème à deux corps et des points de Lagrange.
- Relier les travaux de Poincaré aux systèmes dynamiques et à la théorie du chaos.
In plain terms
Imaginez le Soleil, la Terre et la Lune. Chacun attire les deux autres, tandis que chacun se déplace. Il ne suffit donc pas de suivre un corps autour d'un second : les trois mouvements se modifient mutuellement.
Le problème des trois corps cherche à décrire cette évolution commune. Quelques configurations particulières sont connues, mais le cas général résiste à une solution analytique exacte comparable à celle du problème à deux corps.
Definition
Le problème des trois corps appartient à la mécanique céleste. Il demande de décrire le mouvement de trois corps soumis à leurs attractions gravitationnelles mutuelles, selon la loi de gravitation universelle de Newton. Le Soleil, la Terre et la Lune en donnent l'exemple typique cité par la définition de référence.
La difficulté vient du couplage des interactions : le mouvement recherché pour un corps dépend des deux autres, qui se déplacent eux aussi sous l'effet des attractions réciproques. Cette dépendance distingue le problème général du problème à deux corps, dont la solution analytique exacte s'écrit sous forme de coniques.
Euler et Lagrange ont identifié des configurations particulières d'équilibre relatif, en rotation et stationnaires dans un référentiel tournant approprié, notamment les points de Lagrange. Ces cas particuliers ne constituent pas une solution générale. À la fin du XIXe siècle, les travaux de Poincaré ont marqué une rupture et posé les bases des systèmes dynamiques puis, indirectement, de la théorie du chaos.
What it is made of
Le problème réunit quatre éléments nécessaires : trois corps, leurs mouvements, la loi de gravitation universelle de Newton et les attractions mutuelles qu'elle impose. Chaque corps est à la fois attiré par les deux autres et partie prenante de leur mouvement. Les trois évolutions ne peuvent donc pas être séparées dans le cas général.
Le schéma relationnel représente le Soleil, la Terre et la Lune à un instant choisi. Les doubles liaisons indiquent les attractions dans les deux sens ; leur disposition n'est pas une carte du ciel et n'est pas à l'échelle. Ces relations suffisent à montrer le couplage qui rend la description générale difficile.
A step-by-step example
On veut organiser l'étude du mouvement commun du Soleil, de la Terre et de la Lune. Les données conceptuelles sont les trois corps, leurs mouvements et la gravitation newtonienne qui agit mutuellement entre eux.
1. On prend le Soleil comme premier corps, la Terre comme deuxième et la Lune comme troisième.
2. Pour chacun, on prend en compte l'attraction exercée par chacun des deux autres. On obtient ainsi six actions orientées, regroupées en trois interactions mutuelles.
3. On cherche ensuite les trois mouvements ensemble, puisque modifier l'évolution d'un corps change les interactions auxquelles participent les deux autres.
4. Le contrôle consiste à vérifier que chaque paire de corps est bien présente dans les deux sens. Si l'on ne conserve que deux corps, on retombe sur le problème à deux corps, et non sur l'exemple étudié.
In practice
En mécanique céleste, le problème sert de cadre dès que trois corps s'attirent mutuellement, comme le Soleil, la Terre et la Lune. Si seuls deux corps sont conservés, le problème à deux corps est l'alternative adaptée et admet une solution analytique exacte sous forme de coniques.
Pour rechercher une configuration particulière d'équilibre relatif, stationnaire dans un référentiel tournant approprié, les résultats d'Euler et de Lagrange orientent l'étude vers les points de Lagrange. Le critère décisif est alors la recherche d'un cas particulier, et non d'une solution valable pour toutes les configurations.
Dans l'histoire des mathématiques, l'étude des travaux de Poincaré relie ce problème à la naissance des systèmes dynamiques et, indirectement, à la théorie du chaos. Le geste consiste à examiner ce que l'échec d'une solution générale change dans l'étude des évolutions.
Not to be confused with
Problème à deux corps. Il ne met en jeu que deux corps en interaction et admet une solution analytique exacte sous forme de coniques. Dès que le Soleil, la Terre et la Lune s'attirent tous mutuellement, le cadre à deux corps ne décrit plus le problème posé.
Points de Lagrange. Ils désignent des configurations particulières d'équilibre relatif, stationnaires dans un référentiel tournant approprié. Reconnaître l'une de ces configurations ne revient pas à disposer d'une solution générale pour tous les mouvements possibles des trois corps.
Limits and pitfalls
Réduire le système à deux corps. Dès qu'un troisième corps et ses interactions mutuelles sont écartés, on change de problème. Le symptôme est qu'une des trois paires disparaît ; il faut alors parler du problème à deux corps.
Prendre un cas particulier pour le cas général. Les configurations d'Euler et de Lagrange sont des équilibres relatifs particuliers, généralement décrits dans un référentiel tournant. Leur existence ne fournit pas une solution analytique exacte de tous les mouvements ; il faut annoncer explicitement la configuration étudiée.
Transformer une filiation historique en propriété universelle. Les travaux de Poincaré ont posé indirectement les bases de la théorie du chaos. Cela ne permet pas d'affirmer que toute configuration particulière des trois corps est décrite par le seul mot « chaos ».
Promettre une formule générale comparable au cas à deux corps. Il n'existe pas de solution générale simple sous forme fermée et directement exploitable, comparable à celle du problème à deux corps. Il faut distinguer les solutions particulières de cette ambition générale.
Further reading
Le glossaire points de Lagrange présente les configurations particulières d'équilibre relatif, stationnaires dans un référentiel tournant approprié, mentionnées dans la fiche.
Du problème des trois corps au chaos mathématique prolonge le passage du problème céleste à l'étude du chaos.
Les débuts de la théorie du chaos replace la rupture associée à Poincaré dans son prolongement historique.
Le glossaire système dynamique précise le cadre mathématique dont les travaux de Poincaré ont posé les bases.
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