tractrix

Imaginez un segment rigide posé sur une table. Son extrémité N avance le long d'une droite, tandis que l'autre extrémité M est traînée derrière elle. Le segment garde toujours la même longueur et indique, en M, la direction suivie par ce point. La trace de M est une tractrice. Elle se rapproche continuellement de la droite parcourue par N, sans la rejoindre au cours d'un déplacement fini.

On fixe une droite de base et une longueur strictement positive notée d. Un point N se déplace sur cette droite. La tractrice est le lieu des positions d'un point M tel que la distance MN reste égale à d et que le segment MN soit tangent à la courbe en M. Elle est donc la tractoire particulière dont la courbe de base est une droite.

Plaçons la droite de base sur l'axe horizontal. Pour un paramètre réel t supérieur ou égal à 0, une branche peut être décrite par les coordonnées du point M et celles du point N :

La différence entre ces deux positions a toujours pour longueur d, et le vecteur reliant M à N est parallèle à la tangente de la branche dès que t est strictement positif. En éliminant le paramètre, l'abscisse x s'exprime en fonction de l'ordonnée y, strictement positive et inférieure ou égale à d :

Quand M s'éloigne de sa position initiale, son ordonnée tend vers 0 : la droite de base est une asymptote. La rotation de cette branche autour de la droite de base engendre la pseudo-sphère, une surface de courbure gaussienne constante négative.

Prenons une tractrice de longueur d = 5 dans un repère où la droite de base est l'axe horizontal. Choisissons le paramètre t = ln 3. Les valeurs exactes utiles sont tanh(ln 3) = 4/5 et sech(ln 3) = 3/5.

1. Le point tracteur a pour coordonnées $N=(5\ln 3,0)N=(5\backslash ln\; 3,0)$.

2. Le point traîné a pour coordonnées $M=(5\ln 3-4,3)M=(5\backslash ln\; 3-4,3)$. Son abscisse vaut environ 1,493 et celle de N environ 5,493.

3. De M vers N, le déplacement horizontal vaut 4 et le déplacement vertical vaut −3. Le segment MN a donc une longueur égale à $\sqrt{4^2+(-3{)}^2}=5\backslash sqrt\{4^2+(-3)^2\}=5$.

4. Un vecteur directeur de la tangente en M est (4, −3). Il est exactement colinéaire au vecteur qui va de M à N : le segment rigide donne bien la direction de la courbe.

Le triangle rectangle formé par les écarts 4 et 3 fournit un contrôle refaisable : le triplet 3-4-5 confirme à la fois la longueur imposée et la position du segment tangent.

Pour construire la courbe, on fait avancer N sur une règle droite tout en conservant un segment rigide de longueur d jusqu'à M. La tractrice est préférable à une courbe tracée librement lorsque cette longueur constante et la tangence doivent être garanties.

Pour vérifier qu'un tracé représente une tractrice, on choisit plusieurs points M, on prolonge leur tangente jusqu'à la droite de base et on mesure le segment obtenu. Si sa longueur varie, le tracé ne satisfait pas la condition définissante.

Pour passer de la courbe plane à une surface, on fait tourner la tractrice autour de sa droite asymptote. Ce choix conduit à la pseudo-sphère ; une simple translation ou une rotation autour d'un autre axe ne produit pas cette surface.

Tractrice et tractoire. Une tractoire est définie à partir d'une courbe de base quelconque, tandis que la tractrice exige une base droite. Si N suit une trajectoire courbe, la trace de M peut être une tractoire, mais ce n'est pas la tractrice décrite ici.

Tractrice et pseudo-sphère. La tractrice est une courbe plane ; la pseudo-sphère est une surface. Une rotation de la première autour de sa droite de base produit la seconde, mais les deux objets n'ont pas la même dimension.

Longueur nulle. La définition impose d > 0. Avec d = 0, les points M et N coïncident et le segment n'a plus de direction : la condition de tangence ne définit plus une tractrice.

Contact avec la droite de base. L'ordonnée de M tend vers 0 lorsque le paramètre tend vers l'infini, mais elle reste positive pour toute valeur finie. Il faut donc parler d'une approche asymptotique, et non d'un point de rencontre atteint après une distance finie.

Position initiale. Dans le paramétrage donné, la dérivée s'annule pour t = 0. La direction initiale se lit par la tangente limite, verticale, plutôt qu'en substituant directement t = 0 dans le vecteur dérivé.

Choix de branche. Réfléchir la courbe par rapport à un axe ou inverser le sens du déplacement change les coordonnées, pas la propriété définissante. Il faut annoncer la branche et le repère avant d'utiliser une équation cartésienne.

tractoire — Replace la tractrice dans la famille où le point tracteur suit une courbe de base quelconque.

asymptote — Précise le sens mathématique de la droite dont la tractrice se rapproche sans l'atteindre.

Tangente ou asymptote ? — Aide à distinguer les deux rôles géométriques que la construction de la tractrice réunit.