Two carpets theorem

Imaginez une pièce dont le sol mesure 30 m². Deux carpettes y sont posées, sans dépasser les murs. Une partie du sol n’est recouverte par aucune carpette, tandis qu’une autre partie se trouve sous les deux. Le théorème des deux carpettes compare précisément ces deux parties. Si les aires des deux carpettes réunies valent exactement l’aire de la pièce, alors l’espace découvert et le recouvrement double ont la même aire. Une aire comptée deux fois compense ainsi l’aire oubliée.

Le théorème des deux carpettes est une identité d’aires fondée sur une partition du sol d’une pièce. Notons S l’aire de la pièce, A et B les aires des deux carpettes, U l’aire du sol couvert par au moins une carpette, et I l’aire du sol couvert par les deux. Les carpettes sont supposées entièrement posées dans la pièce et leurs parties mesurables.

Le sol non couvert a pour aire S − U, tandis que le sol doublement couvert a pour aire I. Comme chaque point couvert par une ou deux carpettes est compté dans U, et que les points de I sont comptés une fois de plus dans A + B, on a :Il s’ensuit que S − U = I si et seulement si A + B = S. La forme des carpettes n’intervient pas dans cette équivalence ; elle compte seulement pour calculer les aires et localiser les zones.

Soit S l’aire de la pièce, A et B les aires des deux carpettes, U l’aire de leur union, et I l’aire de leur intersection. Les carpettes étant entièrement contenues dans la pièce, l’aire non couverte vaut S − U et l’aire doublement couverte vaut I. Le critère directement utilisable est :

Le théorème s’applique à une pièce de sol mesurable et à deux carpettes dont les parties couvertes ont une aire. Les deux carpettes doivent être entièrement contenues dans la pièce ; elles peuvent se chevaucher, se toucher ou ne pas se toucher. Il faut connaître ou calculer l’aire S de la pièce et les aires A et B des carpettes.

Si une carpette dépasse le sol étudié, l’aire de cette carpette ne représente plus entièrement une aire couverte dans la pièce : le critère bloque. Il faut alors remplacer A ou B par l’aire de sa partie située dans la pièce, ou redéfinir clairement le domaine mesuré.

Dans une pièce rectangulaire de 30 m², la première carpette couvre 12 m² et la seconde 18 m². Elles se recouvrent sur 5 m². Le schéma rend visibles la zone couverte par au moins une carpette et leur zone commune.

1. La somme des aires des carpettes vaut :

2. La condition du théorème est donc satisfaite, puisque cette somme égale l’aire de la pièce :

3. L’aire couverte par au moins une carpette est la somme précédente moins le recouvrement :

4. L’aire non couverte vaut donc 30 − 25 = 5 m², exactement comme l’aire doublement couverte annoncée. Le contrôle consiste à vérifier que 5 + 25 = 30 m².

Pour un plan de pièce, on repère d’abord la zone couverte par au moins une carpette, puis la zone où les deux se superposent. On calcule leurs aires avec les dimensions disponibles.

Pour contrôler un dessin, on additionne les aires des deux carpettes et on compare cette somme à celle du sol. Si elles concordent, l’aire découverte et l’aire du chevauchement concordent aussi.

Dans un raisonnement de probabilités, la même idée s’emploie avec des mesures de parties d’un espace. L’alternative consiste à utiliser directement les formules d’union et d’intersection lorsque les événements ou les régions ne sont pas représentés par une pièce.

Union et intersection. L’union désigne toute la surface couverte par au moins une carpette, alors que l’intersection désigne seulement leur recouvrement commun. Dans l’exemple, U vaut 25 m² et I vaut 5 m² : ces nombres tranchent la confusion.

Égalité des aires et absence de chevauchement. Le théorème ne dit pas que les carpettes ne se recouvrent pas. Dans l’exemple, elles se recouvrent sur 5 m² ; l’égalité recherchée porte entre cette aire doublement couverte et les 5 m² non couverts.

Pas de recouvrement. Si I = 0, l’aire doublement couverte est nulle. L’égalité du théorème ne peut alors se produire que si l’aire non couverte S − U vaut aussi 0, c’est-à-dire si les carpettes couvrent tout le sol.

Carpettes trop grandes ou sol mal choisi. Si une carpette dépasse la pièce, sa surface totale ne peut pas être utilisée telle quelle pour mesurer la partie couverte dans la pièce. Pour l’union des carpettes considérées dans le plan, la formule A + B − I reste valable ; en revanche, l’union située dans la pièce ne se déduit pas directement des aires totales. Il faut mesurer les portions effectivement situées dans le sol étudié, puis appliquer la formule à ces portions.

Égalité numérique, pas identité de figures. Une aire découverte de 5 m² et un recouvrement de 5 m² peuvent avoir des formes ou des positions différentes. Le résultat compare leurs mesures, non leurs contours ni leurs emplacements.

Le glossaire Intersection permet d’approfondir la notion de partie commune utilisée par le théorème. Le lecteur y gagne une définition indépendante de la géométrie des carpettes, utile pour relire le recouvrement comme une intersection d’ensembles.