Union

Deux boîtes contiennent des cartes numérotées. La première contient 1, 2, 3 et 5 ; la seconde, 3, 4, 5 et 6. Rassembler les numéros présents dans au moins une boîte donne 1, 2, 3, 4, 5 et 6.

Cet ensemble obtenu est la réunion des deux ensembles de départ. Les numéros 3 et 5, présents deux fois au départ, n'y figurent chacun qu'une fois : un ensemble ne compte pas les répétitions.

Soient A et B deux ensembles. Leur réunion, notée A ∪ B et aussi appelée union, est l'ensemble des éléments qui appartiennent à A, à B, ou aux deux. Le mot « ou » est inclusif : un élément commun aux deux ensembles appartient bien à leur réunion. Une écriture complète de la définition est :

L'ordre et le regroupement ne changent pas le résultat : la réunion est commutative et associative. Elle est distributive par rapport à l'intersection ; pour trois ensembles A, B et C, on a A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). L'ensemble vide, noté ∅, est son élément neutre, car A ∪ ∅ = A. Plus généralement, pour une famille d'ensembles indexée par un ensemble I, sa réunion contient exactement les éléments qui appartiennent à au moins un ensemble de la famille. Cette opération fondamentale de la théorie des ensembles reste définie même si les ensembles sont disjoints, égaux, vides ou infinis.

Considérons l'ensemble A = {1, 2, 3, 5} et l'ensemble B = {3, 4, 5, 6}. Le diagramme répartit les éléments entre la zone propre à A, la zone commune et la zone propre à B.

Données.
A contient 1, 2, 3 et 5.
B contient 3, 4, 5 et 6.
Les éléments communs sont 3 et 5.

Étape 1. On part des éléments de A : {1, 2, 3, 5}.

Étape 2. On ajoute les éléments de B qui ne sont pas encore présents, soit 4 et 6. Les éléments 3 et 5 ne sont pas répétés.

Résultat. La réunion est A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Contrôle. Chaque élément de A et chaque élément de B apparaît dans le résultat, et aucun autre nombre n'a été ajouté. Inverser l'ordre donne la même liste, ce qui vérifie ici B ∪ A = A ∪ B.

Pour réunir deux listes sans doublons, on conserve chaque valeur qui apparaît dans au moins l'une d'elles. Si les répétitions doivent au contraire rester comptées, il faut employer une liste ou un multiensemble plutôt qu'un ensemble ordinaire.

Dans un problème de classement, la réunion répond à une question formulée avec un « ou » inclusif. Pour chercher les objets qui vérifient simultanément deux critères, on choisit plutôt l'intersection.

Avec plusieurs ensembles, on peut les réunir progressivement : on calcule d'abord la réunion de deux ensembles, puis on réunit le résultat avec le suivant. L'associativité garantit que le regroupement choisi ne modifie pas l'ensemble final.

Réunion et intersection. La réunion retient les éléments présents dans au moins un ensemble ; l'intersection ne retient que ceux présents dans tous. Avec A = {1, 2, 3, 5} et B = {3, 4, 5, 6}, la réunion vaut {1, 2, 3, 4, 5, 6}, tandis que l'intersection vaut {3, 5}.

Réunion et somme. Réunir des ensembles ne revient pas à additionner leurs éléments ni leurs effectifs. Dans l'exemple, chaque ensemble a quatre éléments, mais la réunion en a six, pas huit, car 3 et 5 sont communs.

Réunion et paire ordonnée. La réunion A ∪ B mélange les appartenances et ne conserve pas l'origine de chaque élément. La paire (A, B), elle, garde les deux ensembles séparés et tient compte de leur ordre.

Un élément commun n'est jamais compté deux fois. Si 3 appartient à A et à B, il apparaît une seule fois dans A ∪ B. Un résultat qui répète 3 décrit une liste, pas un ensemble ordinaire.

Le « ou » est inclusif. Lire « A ou B » comme « dans un seul des deux » éliminerait à tort les éléments communs. Pour la réunion, il faut conserver les éléments appartenant à l'un, à l'autre ou aux deux.

Les cas dégénérés restent valides. Si B est vide, A ∪ B = A. Si A est inclus dans B, alors A ∪ B = B. Il faut appliquer le critère d'appartenance, sans supposer que la réunion est forcément plus grande que chacun des ensembles.

Une famille peut être vide. La réunion d'une famille sans aucun ensemble est, par convention, l'ensemble vide. Pour une famille non vide, un élément appartient à la réunion dès qu'un seul ensemble de la famille le contient.

La fiche Intersection présente l'opération complémentaire qui conserve seulement les éléments communs et permet de lire les identités distributives entre ∪ et ∩.

L'article L'ensemble et ses parties replace réunion, appartenance et inclusion dans le vocabulaire plus large de la théorie des ensembles.