unit step function
La fonction échelon-unité, aussi appelée fonction de Heaviside, est la fonction valant 0 pour les réels négatifs et 1 pour les réels positifs, parfois avec la convention u(0) = 1/2. Elle modélise l'activation brusque d'un signal à l'instant zéro. Sa transformée de Laplace est 1/s. La dérivée au sens des distributions de la fonction de Heaviside est la distribution de Dirac.
Contents
What you will learn
- Lire les valeurs de l’échelon avant, au moment et après le seuil.
- Appliquer un décalage temporel et construire un créneau.
- Relier la transformée 1/s et la dérivée distributionnelle de Dirac à leurs conditions exactes.
In plain terms
Imaginez un signal qui reste éteint avant le départ d’un chronomètre, puis s’allume d’un seul coup. Avant l’instant zéro, sa valeur est 0 ; après cet instant, elle est 1. La fonction échelon-unité décrit précisément ce basculement idéal.
Le point du basculement demande une convention : on choisit souvent 0, 1 ou 1/2 selon le contexte. Ce choix ne change ni le palier avant zéro ni celui qui suit.
Definition
La fonction échelon-unité, ou fonction de Heaviside, est une fonction réelle d’une variable réelle. La variable t représente généralement le temps. La valeur u(t) indique si le seuil zéro a été franchi.
Hors du seuil, sa définition est sans ambiguïté :
Au point t = 0, plusieurs conventions coexistent. On peut fixer u(0) à 0, à 1 ou, dans une convention symétrique, à 1/2. Cette valeur isolée doit donc être annoncée lorsqu’elle intervient dans un calcul ponctuel.
Pour une variable complexe s dont la partie réelle est strictement positive, la transformée de Laplace de u vaut . La fonction n’a pas de dérivée classique au saut : sa dérivée au sens des distributions est la distribution de Dirac en zéro.
What it is made of
Cinq éléments décrivent l’échelon-unité : la variable t, le seuil placé en t = 0, le palier 0 avant le seuil, le palier 1 après le seuil et la valeur conventionnelle au seuil. Le seuil sépare donc les deux domaines où les paliers s’appliquent. La convention en zéro ne modifie qu’un point du graphe.
Ces données suffisent à tracer la fonction. Le graphe comporte deux demi-droites horizontales et un saut d’amplitude 1. Avec la convention u(0) = 1/2, le point du seuil se place à mi-hauteur ; cette figure rend visibles les deux paliers et la valeur isolée choisie au basculement. La couleur et l’échelle du dessin ne définissent pas la fonction.
A step-by-step example
On observe l’échelon u(t) aux instants −2 s, 0 s et 3 s. Les données sont le seuil t = 0, les paliers 0 et 1, et la convention u(0) = 1/2.
1. À −2 s, le temps est négatif : u(−2) = 0.
2. À 0 s, on applique la convention annoncée : u(0) = 1/2.
3. À 3 s, le temps est positif : u(3) = 1.
2. À 0 s, on applique la convention annoncée : u(0) = 1/2.
3. À 3 s, le temps est positif : u(3) = 1.
On contrôle aussi la transformée de Laplace au point s = 2, qui appartient au domaine de convergence. Le calcul s’écrit :
La formule 1/s donne également 1/2. Les trois lectures ponctuelles et ce contrôle respectent donc la même définition.
In practice
Pour représenter une mise en marche idéale à l’instant zéro, on multiplie l’amplitude finale par u(t). Si la transition observée est progressive plutôt que brusque, une rampe ou un modèle continu est préférable.
Pour déclencher le même phénomène à l’instant a, on emploie u(t − a). Le signe du décalage se contrôle simplement : l’argument devient nul lorsque t = a.
Pour isoler un créneau actif de a à b, avec a < b, la différence u(t − a) − u(t − b) vaut 1 entre les deux seuils et 0 en dehors. Les valeurs exactes aux extrémités dépendent des conventions choisies.
En calcul de Laplace, l’échelon code naturellement le début d’un signal causal. Si le signal existe aussi avant zéro, il faut employer une description bilatérale adaptée au lieu de l’effacer avec u(t).
Not to be confused with
Fonction signe. Elle vaut −1 pour t < 0 et 1 pour t > 0, tandis que l’échelon vaut 0 puis 1. Pour t = −2, la fonction signe donne −1 et l’échelon donne 0.
Fonction rampe. Une rampe croît après le seuil, alors que l’échelon reste au palier 1. Pour deux temps positifs distincts, l’échelon conserve la même valeur ; la rampe change.
Distribution de Dirac. L’échelon est une fonction à deux paliers ; Dirac est une distribution concentrée au seuil. Leur lien vient de la dérivation distributionnelle, mais elles ne sont pas le même objet.
Limits and pitfalls
Valeur au seuil. L’écriture « u(t) vaut 1 pour t ≥ 0 » adopte déjà la convention u(0) = 1. Avec la convention symétrique, la valeur charnière est 1/2. Il faut vérifier la convention avant toute évaluation en zéro.
Dérivée au saut. Pour t ≠ 0, la dérivée classique vaut 0 ; en t = 0, elle n’existe pas. Écrire que la dérivée est Dirac n’est correct que dans le cadre des distributions.
Domaine de Laplace. La formule 1/s s’obtient pour une partie réelle de s strictement positive. En s = 0, l’intégrale diverge et 1/s n’est pas défini ; on ne peut donc pas substituer cette valeur.
Signe du décalage. Le signal u(t − a) saute en t = a, tandis que u(t + a) saute en t = −a. Pour éviter une activation du mauvais côté, on résout toujours l’équation qui annule l’argument.
Further reading
Transformée de Laplace. Reliez l’échelon au passage d’un signal temporel vers une fonction de la variable complexe s.
Les multiples fonctions de Laplace. Situez la transformation utilisée ici parmi les différents objets mathématiques associés au nom de Laplace.
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