Bernoulli method

Prenons le polynôme x² − x − 1. Au lieu de chercher directement ses racines, on fabrique la suite 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8… : chaque terme est la somme des deux précédents.

À mesure que la suite avance, le quotient de deux termes consécutifs se stabilise près de 1,618. Cette valeur est la racine du polynôme qui a le plus grand module. La méthode de Bernoulli transforme ainsi une équation en une récurrence, puis lit une racine dans le comportement à long terme de la suite.

La méthode de Bernoulli est un procédé itératif pour approcher une racine dominante d'un polynôme. On considère un polynôme unitaire de degré d, dont les coefficients sont a₁, …, a_d :
À partir de d valeurs initiales, on construit une suite de nombres u_n qui vérifie :
Si le coefficient dominant du polynôme n'est pas 1, on commence par diviser tous les coefficients par celui-ci.

L'équation caractéristique de cette récurrence est précisément P(x) = 0. Dans le cas classique où une racine r a un module strictement supérieur à celui de toutes les autres et où les valeurs initiales n'annulent pas sa contribution, le terme associé à r finit par dominer. Lorsque les quotients sont définis, $u_{n+1}\mathrm{/}{u}_n\to ru\_\{n+1\}/u\_n\backslash to\; r$. La convergence fournit une approximation numérique, pas une valeur exacte à chaque étape.

Une fois cette racine approchée, on peut réduire le polynôme par division et recommencer pour chercher d'autres racines. Ce prolongement exige de contrôler les erreurs d'arrondi, car une approximation imparfaite se répercute sur le polynôme réduit.

Pour appliquer la méthode, on rend d'abord le polynôme unitaire, puis on reporte ses coefficients dans la récurrence linéaire associée. On choisit des valeurs initiales qui n'éliminent pas le mode dominant et on calcule les termes successifs.

On forme ensuite les quotients u_n+1 / u_n chaque fois que u_n est non nul. Si ces quotients se stabilisent et que la racine dominante est unique en module, leur limite donne cette racine. On s'arrête lorsque deux approximations successives diffèrent de moins que la tolérance choisie, puis on vérifie le résultat en évaluant le polynôme.

La construction s'applique à un polynôme dont les coefficients sont connus et à une suite disposant d'autant de valeurs initiales que le degré. Le résultat classique garantit la convergence du quotient lorsqu'une racine a un module strictement supérieur à tous les autres, que sa contribution dans la suite est non nulle et que les dénominateurs utilisés ne s'annulent pas à partir d'un certain rang. Ces hypothèses sont suffisantes, sans être nécessaires dans tous les cas.

Si deux racines dominantes ont le même module, leurs contributions peuvent alterner ou osciller : le quotient ne se fixe alors pas nécessairement. De même, des valeurs initiales mal choisies peuvent supprimer exactement le terme dominant. Dans ces contre-cas, il faut modifier les valeurs initiales ou employer une méthode numérique qui traite simultanément plusieurs composantes plutôt que conclure à partir d'un quotient instable.

On cherche la racine dominante de P(x) = x² − x − 1. Les données sont les coefficients a₁ = −1 et a₂ = −1, ainsi que les valeurs initiales u₀ = 0 et u₁ = 1.

1. La récurrence associée est $u_{n+2}-u_{n+1}-u_n=0u\_\{n+2\}-u\_\{n+1\}-u\_n=0$, soit u_n+2 = u_n+1 + u_n.

2. Les termes successifs sont 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 et 34. Ils sont tous obtenus en additionnant les deux termes précédents.

3. À partir de u₁, les quotients successifs valent 1 ; 2 ; 1,5 ; environ 1,6667 ; 1,6 ; 1,625 ; environ 1,6154 ; environ 1,6190. Le graphique matérialise leurs oscillations de plus en plus petites autour de la limite.

4. La racine dominante exacte est $\phi =(1+\sqrt{5})\mathrm{/}2\approx \mathrm{1,618034}\backslash varphi=(1+\backslash sqrt\{5\})/2\backslash approx1\{,\}618034$. Le dernier quotient calculé, 34 / 21 ≈ 1,619048, en est proche. Pour contrôler, son insertion dans le polynôme donne environ 0,00227 ; avec φ, l'identité φ² − φ − 1 = 0 est exacte.

Lorsqu'une racine est seule de plus grand module, que sa contribution dans la suite est non nulle et que les quotients sont définis à partir d'un certain rang, la méthode permet de l'approcher en remplaçant la résolution directe par des additions et des multiplications répétées. On suit les quotients et on évalue P au point obtenu pour contrôler le résidu.

Si les quotients alternent sans se resserrer ou deviennent impossibles à calculer à cause d'un terme nul, il ne faut pas forcer un résultat. Une modification des valeurs initiales peut suffire ; si l'égalité des modules persiste, une autre méthode de recherche de racines est préférable.

Après approximation d'une première racine, la division du polynôme permet de poursuivre le calcul sur un degré inférieur. Ce geste convient lorsque le résidu est déjà petit ; sinon, il vaut mieux affiner la racine avant la division pour limiter la propagation de l'erreur.

Méthode de Bernoulli et autres résultats portant ce nom. Le patronyme Bernoulli désigne plusieurs objets mathématiques. Dans cette fiche, la méthode étudiée se reconnaît au lien entre un polynôme, une récurrence linéaire et des quotients destinés à approcher une racine dominante. Ce contexte permet de la distinguer ici des autres résultats de la famille Bernoulli, sans constituer à lui seul une caractérisation générale.

Racine dominante et plus grande racine réelle. La dominance porte sur le module, pas sur l'ordre usuel. Ainsi, entre −3 et 2, la racine dominante est −3 parce que son module vaut 3, même si 2 est la plus grande des deux.

Égalité des modules dominants. Avec les racines 2 et −2, deux contributions de même taille peuvent produire une alternance au lieu d'une limite. Le symptôme est un quotient qui oscille durablement ; il faut alors changer d'outil, pas moyenner arbitrairement les valeurs.

Mode dominant absent. Même avec une racine dominante unique, certaines valeurs initiales peuvent annuler sa contribution. La suite reflète alors une autre racine. Essayer plusieurs initialisations et vérifier P(r) permet de repérer ce cas.

Quotient momentanément indéfini. Si u_n = 0, le quotient u_n+1 / u_n n'existe pas. Il faut poursuivre la récurrence si les termes suivants le permettent ou repartir avec d'autres valeurs initiales ; une division par zéro n'indique aucune racine.

Convergence lente et arrondis. Lorsque le second plus grand module est proche du premier, les quotients se stabilisent lentement. Un affichage inchangé sur quelques décimales ne suffit pas : il faut aussi contrôler le résidu |P(r)| et renforcer la précision avant toute réduction du polynôme.

nombre d'or — Retrouver la limite des quotients de Fibonacci utilisée dans l'exemple et ses propriétés algébriques.