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La Terre dans une balle de ping-pong


Élisabeth Busser

Impossible n'est pas mathématique ! Si, dans les années 1950, le Néerlandais Nicolaas Kuiper et l'Américain John Nash avaient déjà démontré l'existence d'une vaste classe d'objets mathématiques paradoxaux (tores plats en 3D, sphères réduites…), ils n'avaient pas les outils pour les visualiser


Dans leur projet baptisé Hévéa, une équipe de chercheurs lyonnais pilotée par Vincent Borrelli (Prix Tangente 2015) a réussi un exploit : celui de faire entrer une sphère, a priori ni étirable ni contractable, dans une… balle de ping-pong !

Ces mathématiciens, qui savaient pourtant qu’une sphère ne pouvait être déformée, de manière deux fois différentiable, en préservant les longueurs de ses courbes, ont suivi Kuiper et Nash disant que ce n’était pas le cas si on exigeait des déformations qu’elles soient seulement continûment différentiables. C’est ainsi qu’ils ont réussi l’impensable : réduire de manière isométrique une sphère unité (de rayon 1) en une balle plus petite, beaucoup plus petite, en préservant toutes les distances géodésiques, c’est-à-dire les longueurs de l’arc le plus court joignant deux points quelconques. Ils ont décrit la construction explicite et la visualisation de cette sphère réduite dans la revue Foundations of Computational Mathematics le 6 juillet 2017. Leur sphère « corruguée » se compose de deux calottes sphériques parfaitement lisses, connectées par une ceinture équatoriale fractale. La transition se fait un peu comme quand on passe d’une courbe de von Koch à un segment de droite : on est en présence d’une « fractale lisse », comme dit Vincent Borrelli.