AlgèbreNotion · Glossaire
Bézier Pierre
Pierre Bézier (1910-1999) est un ingénieur français qui développe chez Renault, dans les années 1960, une méthode pour décrire les courbes et surfaces libres en conception assistée par ordinateur. Les courbes qui portent son nom sont pilotées par des points de contrôle ; les polynômes de Bernstein déterminent le poids de chacun le long du tracé. Elles sont aujourd'hui utilisées en infographie et en CAO.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Situer Pierre Bézier, sa formation et son travail chez Renault.
- Relier les points de contrôle aux polynômes de Bernstein.
- Recalculer un point d'une courbe quadratique de Bézier.
- Distinguer la courbe, son polygone et ses points de contrôle.
En clair
Dans les années 1960, chez Renault, Pierre Bézier cherche à décrire par le calcul des formes libres utiles à la conception assistée par ordinateur. Son idée associe une courbe à quelques points de contrôle : déplacer un de ces points modifie la forme sans avoir à redessiner chaque point de la courbe.
Les polynômes de Bernstein règlent l'influence de chaque point de contrôle le long du tracé. Cette méthode est devenue un outil universel de l'infographie et de la CAO.
Définition
Pierre Bézier (1910-1999) est un ingénieur français. Diplômé de l'École nationale supérieure des Arts et Métiers en 1930 puis de l'École supérieure d'Électricité en 1931, il travaille chez Renault. Il obtient un doctorat en mathématiques en 1977.
Dans les années 1960, il y développe une méthode mathématique pour représenter des courbes et des surfaces libres en conception assistée par ordinateur. Une courbe de Bézier est déterminée par des points de contrôle. Pour un paramètre compris entre 0 et 1, les polynômes de Bernstein attribuent à ces points des poids dont la somme vaut 1 ; la combinaison pondérée obtenue donne un point de la courbe.
L'apport de Pierre Bézier relie ainsi une manipulation géométrique, celle des points de contrôle, à une définition polynomiale calculable. Les courbes qui portent son nom sont aujourd'hui universellement utilisées en infographie et en CAO.
Un exemple, pas à pas
Considérons une courbe quadratique commandée par trois points : P0 = (0 ; 0), P1 = (2 ; 3) et P2 = (4 ; 0). Le paramètre t varie de 0 à 1. La figure associée rend visibles le polygone de contrôle, la courbe et le point obtenu à mi-parcours du paramètre.
1. Pour chaque valeur de t, les trois poids de Bernstein sont (1 − t)2, 2(1 − t)t et t2.
2. Le point B(t) de la courbe est la combinaison suivante :
4. On obtient donc B(1/2) = (1/4)(0 ; 0) + (1/2)(2 ; 3) + (1/4)(4 ; 0) = (2 ; 1,5).
2. Le point B(t) de la courbe est la combinaison suivante :
3. Pour t = 1/2, les poids valent respectivement 1/4, 1/2 et 1/4.
4. On obtient donc B(1/2) = (1/4)(0 ; 0) + (1/2)(2 ; 3) + (1/4)(4 ; 0) = (2 ; 1,5).
Le résultat est le point (2 ; 1,5). Le contrôle est immédiat : les poids sont positifs et leur somme vaut 1/4 + 1/2 + 1/4 = 1 ; les coordonnées sont donc bien une moyenne pondérée des trois points annoncés.
En pratique
En conception assistée par ordinateur, l'utilisateur place des points de contrôle puis les déplace pour ajuster une forme libre. Cette représentation est préférable à un relevé point par point lorsque l'on veut modifier la forme par quelques commandes.
En infographie, le même geste produit un tracé calculable à toute valeur du paramètre. Les points de contrôle conviennent lorsque l'objectif est d'obtenir une courbe lisse et modifiable plutôt qu'une suite de segments indépendants.
Pour vérifier un tracé, on affiche aussi son polygone de contrôle. Il ne donne pas la courbe elle-même, mais rend visible quel point déplacer et dans quelle direction pour corriger sa forme.
À ne pas confondre
Pierre Bézier et une courbe de Bézier. Le premier est l'ingénieur français né en 1910 ; la seconde est l'objet mathématique défini par des points de contrôle et des polynômes de Bernstein. Une date biographique concerne la personne, tandis qu'une formule paramétrée concerne la courbe.
Courbe et polygone de contrôle. Le polygone relie les points de contrôle par des segments ; la courbe est formée par leurs combinaisons pondérées. Dans l'exemple, le sommet P1 = (2 ; 3) appartient au polygone, alors que le point de la courbe pour t = 1/2 est (2 ; 1,5).
Points de contrôle et points du tracé. Les points extrêmes P0 et P2 sont atteints pour t = 0 et t = 1. Un point de contrôle intermédiaire guide la forme, mais la courbe ne le traverse pas nécessairement.
Limites et pièges
Le paramètre n'est pas une distance. Deux intervalles égaux de t ne correspondent pas forcément à deux longueurs égales sur la courbe. Pour placer des points à intervalles de longueur réguliers, il faut mesurer la longueur parcourue plutôt que partager seulement l'intervalle [0 ; 1].
Un point de contrôle intermédiaire n'est pas une étape obligatoire. Le symptôme du piège est d'attendre que la courbe passe par P1. Il faut calculer B(t) : dans l'exemple, B(1/2) = (2 ; 1,5), et non (2 ; 3).
Des points de contrôle peuvent produire un cas dégéné. Si P0 = P1 = P2, toutes les combinaisons pondérées donnent le même point : le tracé n'est plus une courbe visible. Il faut alors choisir des points distincts si l'on veut une forme étendue.
Pour aller plus loin
courbe de Bézier — Pour approfondir la définition mathématique de l'objet qui porte le nom de Pierre Bézier.
polynôme de Bernstein — Pour étudier les poids qui combinent les points de contrôle.
conception assistée par ordinateur — Pour situer le domaine dans lequel Pierre Bézier a développé sa méthode.
Les courbes de Bézier — Pour prolonger la lecture par un article consacré à ces courbes.
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