Casteljau Paul de

En 1959, chez Citroën, Paul de Casteljau cherche à représenter des formes par le calcul. Imaginez trois points qui guident un trait courbe. Pour trouver un point précis du trait, son algorithme rapproche d'abord les points voisins dans une même proportion, puis recommence avec les points obtenus.

Cette construction répétée rend calculables les courbes polynomiales écrites dans la base de Bernstein. Gardée secrète près de seize ans, elle est rendue publique en 1975 et devient étroitement associée aux courbes de Bézier.

Paul de Faget de Casteljau, né en 1930, est un mathématicien et physicien français. Alors qu'il travaille chez Citroën pour la conception assistée par ordinateur, il introduit en 1959 les formes à pôles et un algorithme récursif destiné aux courbes polynomiales exprimées dans la base de Bernstein. L'algorithme est rendu public en 1975, après être resté secret pendant près de seize ans.

Pour une valeur du paramètre comprise entre 0 et 1, l'algorithme remplace chaque paire de points consécutifs par un point situé dans la même proportion sur le segment qui les joint. Il répète cette interpolation jusqu'à n'obtenir qu'un point : celui de la courbe pour le paramètre choisi. Cette procédure évalue et représente la courbe sans développer directement le polynôme dans la base de Bernstein.

Ce travail constitue un fondement de la géométrie algorithmique. Les courbes de Bézier en sont une application directe. De Casteljau a aussi relié leur théorie à celle des splines au moyen des floraisons, dans un cadre algébrique commun pour la modélisation géométrique. Ses dernières recherches ont porté sur les quaternions et la géométrie métrique.

On veut construire le point médian d'une courbe quadratique guidée par trois pôles. Les données sont les points P₀ = (0 ; 0), P₁ = (2 ; 3) et P₂ = (4 ; 0), ainsi que le paramètre t = 0,5. À chaque étape, t = 0,5 demande donc de prendre le milieu.

1. Entre P₀ et P₁, le milieu est Q₀ = ((0 + 2) ÷ 2 ; (0 + 3) ÷ 2) = (1 ; 1,5).

2. Entre P₁ et P₂, le milieu est Q₁ = ((2 + 4) ÷ 2 ; (3 + 0) ÷ 2) = (3 ; 1,5).

3. Il reste à prendre le milieu de Q₀ et Q₁ : R = ((1 + 3) ÷ 2 ; (1,5 + 1,5) ÷ 2) = (2 ; 1,5).

Le point de la courbe pour t = 0,5 est donc R = (2 ; 1,5). On peut contrôler le calcul directement dans la base de Bernstein :

Le résultat confirme les interpolations successives. La construction géométrique rassemble les trois pôles, les deux premiers milieux et le point final.

En conception assistée par ordinateur, on choisit des pôles pour guider une forme, puis l'algorithme calcule des points de la courbe. Lorsque l'on veut une position correspondant à un paramètre donné, les interpolations successives évitent de développer le polynôme de Bernstein.

Pour étudier ensemble courbes de Bézier et splines, les floraisons offrent le cadre algébrique unifié auquel de Casteljau a contribué. On préfère ce cadre à l'étude séparée des deux familles lorsque la relation entre leurs constructions est précisément l'objet de la recherche.

Paul de Casteljau et l'algorithme de Casteljau. Le premier est le mathématicien et physicien né en 1930 ; le second est la procédure récursive qui porte son nom. Une date biographique concerne la personne, tandis qu'un calcul par interpolations concerne l'algorithme.

Algorithme de Casteljau et courbe de Bézier. L'algorithme est une méthode d'évaluation et de représentation ; la courbe est l'objet géométrique obtenu. Dans l'exemple, P₀, P₁ et P₂ guident la courbe, tandis que les calculs de Q₀, Q₁ et R appliquent la méthode.

Des pôles ne sont pas tous des points de la courbe. Dans l'exemple, P₁ = (2 ; 3) guide la forme, mais au paramètre t = 0,5 la courbe passe par R = (2 ; 1,5). Il faut exécuter les interpolations avant d'affirmer qu'un pôle appartient au tracé.

Un cas dégénéré reste calculable. Si les trois pôles sont alignés, les interpolations restent définies, mais la courbe tracée est contenue dans cette droite. Si des pôles coïncident, certaines étapes donnent immédiatement le même point ; il faut conserver ces répétitions dans le calcul.

La chronologie ne doit pas être raccourcie. L'introduction de l'algorithme date de 1959, mais il n'est rendu public qu'en 1975. Le secret industriel pendant près de seize ans explique cet écart ; attribuer les deux événements à une seule date efface une information essentielle.

La fiche courbe de Bézier prolonge l'exemple en étudiant l'objet géométrique directement lié à l'algorithme.

La conception assistée par ordinateur replace la méthode dans le contexte industriel où elle a été élaborée chez Citroën.

La fiche quaternion ouvre sur l'un des objets auxquels Paul de Casteljau a consacré ses dernières recherches.