Newton transformation

Imaginez une règle qui tourne autour d'un point fixe O. À chaque orientation, elle rencontre deux courbes, en A et en A'. Depuis A, on trace une parallèle à une première direction fixe. Depuis A', on en trace une autre, selon une seconde direction fixe. Leur croisement donne un point M.

En faisant tourner la règle, M se déplace et dessine une nouvelle courbe : la transformée de Newton. Le point M combine ainsi une information prise sur chacune des deux courbes.

Dans un repère d'origine O, on fixe deux courbes C et C', ainsi que deux droites D et D' sécantes en O. Une droite variable Δ passe par O. Pour chaque position admissible de Δ, on choisit son point d'intersection A avec C et son point d'intersection A' avec C'. La parallèle à D menée par A et la parallèle à D' menée par A' se coupent en un unique point M, car D et D' ont des directions distinctes.

La transformée de Newton du couple (C, C') est l'ensemble des points M obtenus lorsque Δ varie autour de O. Elle dépend donc des deux courbes, du point O, des directions D et D', ainsi que du choix des intersections si une même droite Δ coupe une courbe en plusieurs points. M n'est pas en général situé sur Δ : il résulte du croisement des deux parallèles auxiliaires.

L'hyperbolisme est inclus comme cas particulier de cette construction. Lorsque C' est une droite et que D' fournit la direction perpendiculaire prescrite, la transformée obtenue est précisément l'hyperbolisme de C.

On rencontre cette construction sur une figure de géométrie plane. Cinq marqueurs permettent de la reconnaître : un point fixe O ; une droite Δ qui pivote autour de O ; deux courbes C et C' coupées par Δ ; deux directions fixes portées par D et D' ; enfin un point M obtenu par intersection de parallèles.

La figure porte une information de lieu : ce n'est pas une seule position de M qui importe, mais l'ensemble de ses positions pendant la rotation de Δ. Les traits parallèles servent à transférer vers M les positions de A et de A'.

La grandeur à suivre est la position de M dans le repère d'origine O. 1. Fixez une orientation de Δ et repérez ses intersections A avec C et A' avec C'. 2. Par A, menez la parallèle à D. 3. Par A', menez la parallèle à D'. 4. Marquez leur intersection M, puis recommencez pour d'autres orientations de Δ.

La convention décisive est le choix d'une intersection lorsque Δ rencontre plusieurs fois C ou C'. Ce choix doit rester cohérent pour suivre une branche du lieu. L'œil peut croire que M appartient à la droite mobile parce que A et A' y sont placés. Il faut au contraire chercher M au croisement des parallèles fixes en direction, puis vérifier ses coordonnées dans le repère.

Prenons D comme l'axe horizontal Ox et D' comme l'axe vertical Oy. La courbe C est la droite verticale d'équation x = 1, tandis que C' est la droite horizontale d'équation y = 2. La figure montre la construction pour la position Δ d'équation y = x.

Données.
La droite mobile Δ_t a pour équation y = tx, avec t non nul.
C : x = 1.
C' : y = 2.
Les parallèles à D sont horizontales et celles à D' sont verticales.

Étape 1. L'intersection de Δ_t avec C a pour coordonnées A = (1, t). L'intersection de Δ_t avec C' a pour coordonnées A' = (2/t, 2).

Étape 2. La parallèle à D passant par A a pour équation y = t. La parallèle à D' passant par A' a pour équation x = 2/t. Leur intersection est donc M = (2/t, t).

Étape 3. En multipliant les deux coordonnées de M, on obtient : $x_M{y}_M=\frac{2}{t}\times t=2x\_My\_M=\backslash frac\{2\}\{t\}\backslash times\; t=2$. Lorsque t parcourt les réels non nuls, M décrit les deux branches de l'hyperbole d'équation xy = 2.

Contrôle. Pour t = 1, on trouve A = (1, 1), A' = (2, 2) et M = (2, 1). Le produit des coordonnées de M vaut bien 2. Pour t = −1, M = (−2, −1), ce qui vérifie encore xy = 2 sur l'autre branche.

Pour construire le lieu point par point, on choisit plusieurs orientations de Δ et on reporte chaque point M. Si une seule position est recherchée, la construction directe des deux parallèles suffit ; si la courbe entière est recherchée, il faut faire varier Δ.

Dans un repère, on peut paramétrer Δ par sa pente t, calculer A et A', puis éliminer t entre les coordonnées de M. Cette voie analytique est préférable au tracé seul lorsqu'on veut obtenir une équation du lieu et contrôler les branches manquantes.

Lorsque Δ coupe plusieurs fois une courbe, on suit séparément chaque choix continu d'intersection. Mélanger ces choix peut faire sauter M d'une branche à une autre ; les traiter séparément conserve la lecture géométrique de chaque branche.

Avec une transformation appliquée point par point. Ici, un point de C n'est pas envoyé seul vers une image. Le point M dépend simultanément de A sur C et de A' sur C', tous deux sélectionnés par la même droite Δ. Si A' change alors que A reste fixé, M peut changer : le couple de courbes est indispensable.

Avec l'hyperbolisme. L'hyperbolisme n'est pas un synonyme dans le cas général. Il apparaît lorsque C' est une droite et que D' porte la direction perpendiculaire requise. Avec deux courbes quelconques, on parle de transformée de Newton.

Intersection absente. Pour une orientation donnée, Δ peut ne pas rencontrer C ou C'. Aucun point M n'est alors produit par cette orientation ; il ne faut pas prolonger arbitrairement le lieu.

Intersection multiple. Si Δ coupe l'une des courbes en plusieurs points, la construction n'est pas univoque sans règle de choix. Il faut annoncer la branche suivie ou considérer toutes les combinaisons d'intersections.

Directions confondues. La définition exige que D et D' soient sécantes en O. Si elles avaient la même direction, les deux parallèles auxiliaires seraient parallèles ou confondues et ne détermineraient plus un point M unique.

Paramètre exclu dans l'exemple. Pour t = 0, la droite Δ_t ne rencontre pas C' d'équation y = 2. La formule A' = (2/t, 2) cesse donc d'avoir un sens ; le lieu xy = 2 ne contient aucun point d'abscisse ou d'ordonnée nulle.

Le glossaire de l'hyperbolisme isole le cas particulier mentionné dans la définition et permet de comparer ses données avec celles de la construction générale.

La fiche Lieu géométrique précise comment une condition de construction se traduit par un ensemble de points, puis éventuellement par une équation.