hyperbolisme
L'hyperbolisme d'une courbe C relativement à un point O et à une droite D construit une courbe Γ point par point : pour chaque point A de C, distinct de O, tel que la droite OA rencontre D en un point unique P, son image M est l'intersection de la parallèle à D passant par A et de la perpendiculaire à D passant par P. Quand A parcourt C, M parcourt Γ, ce qui permet de transformer une courbe par une construction géométrique visualisable.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Suivre la construction géométrique de A à M par le point P.
- Utiliser la substitution de coordonnées lorsque x est non nul.
- Vérifier sur un exemple que la droite y = 1 devient la courbe y = 2/x.
- Repérer les cas où la construction n'est pas définie.
En clair
Imaginez un point O, une droite fixe et un point A qui se déplace sur une courbe. Lorsque la droite OA est définie et rencontre la droite fixe en un point unique P, la construction peut commencer. Cette condition exclut notamment A = O et les cas de parallélisme. Depuis P, un déplacement perpendiculaire à la droite fixe rejoint la parallèle menée par A : son arrivée est M.
Quand A parcourt la courbe de départ, M trace une autre courbe. Cette fabrication point par point est l'hyperbolisme. Elle conserve une coordonnée de A et transforme l'autre par un quotient.
Définition
L'hyperbolisme transforme une courbe de départ C en une courbe image Γ. Il dépend d'un point fixe O et d'une droite directrice D. Pour chaque point A de C, la droite OA doit rencontrer D en un point P. La parallèle à D passant par A et la perpendiculaire à D passant par P se coupent alors en un point M de Γ.
Choisissons O comme origine et un axe perpendiculaire à D. Si D a pour équation x = a, avec la distance a strictement positive, un point A de coordonnées (x, y) et d'abscisse x non nulle a pour image . La première coordonnée est conservée. La seconde est obtenue en multipliant y par le rapport a/x.
La transformation réciproque est l'antihyperbolisme. Dans le même repère, elle envoie un point (x, y) d'abscisse x non nulle sur . Si la droite directrice est remplacée par une courbe, la construction appartient au cadre plus général de la transformation de Newton.
Un exemple, pas à pas
Prenons le point O de coordonnées (0, 0), la droite directrice D d'équation x = 2 et la courbe C d'équation y = 1. Le paramètre vaut donc a = 2. Suivons le point A de coordonnées (4, 1).
1. La droite OA passe par (0, 0) et (4, 1). À l'abscisse 2, elle atteint le point P de coordonnées (2, 1/2).
2. La parallèle à D passant par A a pour équation x = 4. La perpendiculaire à D passant par P a pour équation y = 1/2. Leur intersection est M = (4, 1/2).
3. Pour un point quelconque A = (x, 1), avec x non nul, la même opération donne . La courbe image Γ a donc pour équation .
Le contrôle se refait avec A = (2, 1) : le point P est (2, 1), puis M est encore (2, 1), ce qui vérifie 1 = 2/2. La configuration géométrique montre simultanément la droite C, sa courbe image Γ et le trajet de A vers M par P.
En pratique
Pour construire l'image d'une courbe dessinée, on choisit plusieurs points A, puis on construit chaque point M avec la droite OA, la directrice D et les deux directions perpendiculaires. Un tracé par points convient lorsque l'on dispose surtout d'une figure géométrique.
Lorsque la courbe possède une équation, la substitution de coordonnées est plus directe. Elle aide à identifier l'équation de la courbe image et à suivre les points où le quotient est défini.
Pour retrouver la courbe de départ à partir de l'image, on emploie l'antihyperbolisme. Si la directrice n'est plus une droite mais une courbe, il faut passer à la transformation de Newton.
À ne pas confondre
Hyperbolisme et hyperbole. L'hyperbolisme est une transformation de courbes, tandis qu'une hyperbole est une courbe particulière. Dans l'exemple y = 1 devient y = 2/x, qui est une hyperbole, mais l'image d'une autre courbe n'est pas nécessairement une hyperbole.
Hyperbolisme et antihyperbolisme. Le premier va de la courbe C vers la courbe Γ avec la seconde coordonnée ay/x. Le second revient de Γ vers C avec la seconde coordonnée xy/a. Le sens du trajet les distingue.
Hyperbolisme et transformation de Newton. L'hyperbolisme utilise une droite directrice. Lorsque la directrice est une courbe quelconque, on se place dans la généralisation appelée transformation de Newton.
Limites et pièges
Abscisse nulle. Dans le repère où D a pour équation x = a avec a > 0, la formule contient une division par x. Pour x = 0, la droite OA est parallèle à D ou A coïncide avec O : le point P requis n'est pas déterminé. Ce point doit être exclu du domaine.
Directrice passant par O. Si la distance a vaut 0, le cadre analytique utilisé pour l'hyperbolisme et son inverse dégénère. Il faut choisir une droite directrice distincte de O avant d'appliquer les formules données ici.
Branches et points manquants. La transformation s'applique point par point seulement là où la construction existe. Une courbe traversant x = 0 peut donc produire des branches séparées ; il ne faut pas relier graphiquement les deux côtés à travers la valeur interdite.
Pour aller plus loin
transformation de Newton. Elle prolonge la construction lorsque la directrice droite est remplacée par une courbe.
cubique. Cette famille de courbes fournit un cadre naturel pour situer l'un des domaines d'étude mentionnés pour l'hyperbolisme.
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