bicorne

Imaginez un point qui se déplace sur un cercle, tandis qu'une règle particulière lui est associée. Cette règle est sa polaire par rapport à un second cercle. La verticale passant par le point rencontre cette règle en un nouveau point M. En laissant le point initial parcourir le cercle, M dessine une courbe fermée à deux lobes, la bicorne.

Le nom vient de cette silhouette qui évoque deux cornes. La courbe reste symétrique par rapport à l'axe vertical, mais sa construction repose sur une relation géométrique précise entre deux cercles, une polaire et une perpendiculaire.

La bicorne est une quartique, c'est-à-dire une courbe algébrique dont l'équation est de degré 4. Dans un repère orthonormé d'origine O, les deux cercles, tangents en O et de rayon a, ont pour centres respectifs A(0,−a) et B(0,a), où a désigne un paramètre positif. Un point P parcourt le cercle (b). La polaire de P par rapport au cercle (a) forme une droite notée (p). La droite perpendiculaire à l'axe Ox qui passe par P coupe (p) en M ; l'ensemble de ces points M est la bicorne.

La relation cartésienne entre les coordonnées x et y de M est

Le paramètre a fixe l'échelle de la figure. Pour une valeur donnée de a, l'équation impose notamment |x| ≤ a, et la symétrie par rapport à l'axe Oy se lit dans la présence de x². La construction géométrique et l'équation décrivent le même lieu de points, mais l'équation permet d'en vérifier directement les coordonnées.

Prenons le paramètre a = 3 et examinons deux points de la courbe. Pour le premier point, x = 0 et y = 3. Pour le second, x = √5 et y = 1.

Pour (0, 3), le membre de gauche vaut 3²(3²−0²) = 81.
Le membre de droite vaut (0² + 2 × 3 × 3 − 3²)² = 81.
Les deux valeurs sont égales : (0, 3) appartient donc à la bicorne.

Pour (√5, 1), le membre de gauche vaut 1²(3²−(√5)²) = 4.
Le membre de droite vaut ((√5)² + 2 × 3 × 1 − 3²)² = 4.
Le second point appartient lui aussi à la courbe.

Le contrôle est refaisable sans tracer la figure : il suffit de substituer chaque couple (x, y) dans les deux membres de l'équation. Le même calcul montre aussi que les points obtenus avec x et avec −x ont la même ordonnée.

Pour reconnaître une bicorne dans un exercice, commencez par repérer une courbe fermée symétrique par rapport à un axe vertical, puis vérifiez que son équation est une quartique. La silhouette seule ne suffit pas.

Pour construire la courbe géométriquement, faites parcourir le cercle (b) au point P, construisez sa polaire par rapport au cercle (a), puis prenez l'intersection avec la perpendiculaire à Ox passant par P. Le lieu des intersections fournit la courbe.

Pour contrôler un point candidat, préférez la substitution dans l'équation cartésienne. Cette méthode est plus fiable qu'une lecture approximative du dessin, surtout près des extrémités où |x| atteint a.

Une bicorne ne se confond pas avec une ellipse. Une ellipse est une conique, donc une courbe de degré 2 ; la bicorne est une quartique. Un point qui vérifie une équation d'ellipse ne vérifie pas pour autant l'équation de la bicorne.

Elle ne se confond pas non plus avec une lemniscate simplement parce que les deux courbes peuvent présenter deux lobes. Le critère qui tranche est l'équation et la construction par polaire, non la seule apparence du tracé.

Le paramètre a ne peut pas être traité comme une coordonnée quelconque : il règle l'échelle de la construction et intervient dans les centres A(0,−a) et B(0,a). Une valeur nulle ferait coïncider ces centres et sortirait du cadre géométrique décrit ; la définition suppose donc a positif.

L'équation impose |x| ≤ a pour les points réels de la bicorne. Si y ≠ 0, le membre de gauche ne peut être égal au carré du membre de droite que si a² − x² ≥ 0. Si y = 0, l'équation devient (x² − a²)² = 0, donc x = ±a. Dans tous les cas, |x| ≤ a ; il faut alors conclure qu'un couple réel avec |x| > a n'appartient pas à la courbe, plutôt que prolonger le dessin à l'œil.

Enfin, les deux branches visibles de part et d'autre de l'axe Oy, au-dessus de l'axe Ox, ne sont pas deux courbes différentes. Pour |x| < a, elles correspondent aux deux valeurs distinctes de y lorsque l'équation quadratique en y est résolue pour un même x admissible ; à x = ±a, ces deux valeurs se confondent en y = 0. La symétrie pertinente porte ici sur x, pas sur y.

L'article « Curva ex machina » élargit la perspective sur les courbes algébriques et aide à situer la bicorne parmi les objets dont une équation produit une forme géométrique. Cette lecture apporte un contexte plus large après l'étude de la construction et de l'équation.