conic
Une conique est une courbe du plan définie par une équation polynomiale du second degré en deux variables : AX² + BY² + CXY + DX + EY + F = 0. Selon les valeurs des coefficients, cette équation peut représenter une ellipse, une parabole, une hyperbole, ou une conique dégénérée telle que deux droites sécantes ou une droite double. Une conique peut également être définie géométriquement comme l'intersection d'un plan avec un cône de révolution à deux nappes ; pour une coupe non dégénérée, l'inclinaison du plan par rapport à l'axe du cône détermine le type obtenu. La position du plan intervient aussi : s'il passe par le sommet du cône, la section peut être dégénérée. On peut aussi caractériser les ellipses non circulaires, les paraboles et les hyperboles à l'aide d'une définition focale : l'ensemble des points du plan dont le rapport de la distance à un point fixe appelé foyer à la distance à une droite fixe appelée directrice est constant. Ce rapport, nommé excentricité, est strictement inférieur à 1 pour une ellipse non circulaire, égal à 1 pour une parabole et strictement supérieur à 1 pour une hyperbole.
Contents
What you will learn
- Relier les définitions algébrique, géométrique et focale d'une conique.
- Distinguer ellipse, parabole et hyperbole par l'excentricité et la coupe du cône.
- Identifier une ellipse à partir de son équation et calculer ses foyers.
- Repérer les coniques dégénérées, les lieux vides et les axes tournés.
In plain terms
Imaginez un plan qui coupe un cône à deux nappes, sans donner une coupe dégénérée. Presque horizontal, il trace une courbe fermée : une ellipse, ou un cercle s'il est exactement horizontal. Parallèle à une droite qui engendre la surface du cône, sans passer par le sommet, il donne une parabole. S'il rencontre les deux nappes, il fait apparaître les deux branches d'une hyperbole.
Ces trois courbes sont des coniques. Elles peuvent aussi être reconnues par une équation du second degré. Les ellipses non circulaires, les paraboles et les hyperboles se caractérisent également par leurs distances à un foyer et à une directrice.
Definition
Une conique est l'ensemble des points du plan dont les coordonnées satisfont une équation polynomiale du second degré. Les lettres x et y désignent les coordonnées d'un point. Si A, B et C sont les coefficients des termes quadratiques, D et E ceux des termes linéaires, et F le terme constant, l'équation générale s'écrit : . Les trois coefficients A, B et C ne sont pas tous nuls.
Le nombre Δ = C² − 4AB classe le type de la partie quadratique : elliptique, parabolique ou hyperbolique. Les termes linéaires et le terme constant doivent aussi être examinés pour déterminer si le lieu est une conique réelle non dégénérée ; il peut notamment être vide, ponctuel ou dégénéré, par exemple en deux droites sécantes ou en une droite double. Géométriquement, les trois familles non dégénérées s'obtiennent en coupant un cône de révolution à deux nappes par un plan ; l'inclinaison de ce plan détermine la famille.
Une caractérisation focale compare, pour chaque point de la courbe, sa distance à un point fixe nommé foyer et sa distance à une droite fixe nommée directrice. Leur rapport constant est l'excentricité, notée e. Pour une ellipse non circulaire, 0 < e < 1. Dans la classification des coniques, on attribue par convention la valeur e = 0 au cercle ; cette valeur ne provient pas d'une caractérisation par un foyer et une directrice finie, qui ne s'applique pas directement au cercle. Pour une parabole, e = 1. Pour une hyperbole, e > 1.
A step-by-step example
Considérons la courbe d'équation 4x² + 9y² − 36 = 0, où x et y désignent les coordonnées d'un point. Nous allons identifier la conique, calculer ses foyers et contrôler son excentricité. La représentation rend visibles ses deux axes et ses deux foyers.
Données : les coefficients quadratiques sont A = 4, B = 9 et C = 0 ; les coefficients linéaires sont D = E = 0 ; le terme constant est F = −36.
1. Ajoutons 36 aux deux membres, puis divisons par 36 : . Les deux carrés ont des coefficients positifs : la courbe est une ellipse centrée à l'origine.
2. Le demi-grand axe vaut a = 3 sur l'axe horizontal, et le demi-petit axe vaut b = 2 sur l'axe vertical. La distance c du centre à chaque foyer vérifie , donc c = √5.
3. Les foyers sont donc F1(−√5 ; 0) et F2(√5 ; 0). L'excentricité vaut .
Le contrôle est immédiat : 0,745 est strictement inférieur à 1, comme l'exige une ellipse. De plus, le point (3 ; 0) vérifie bien l'équation initiale, car 4 × 3² + 9 × 0² − 36 = 0.
In practice
Devant une équation du second degré en x et y, on regroupe d'abord les termes quadratiques, linéaires et constants. On choisit une classification algébrique plutôt qu'un dessin à main levée lorsque l'orientation ou la dégénérescence n'est pas évidente.
Pour construire une conique à partir d'un cône, on observe la position du plan de coupe. Une ellipse apparaît avec une coupe fermée, une parabole avec une coupe non dégénérée parallèle à une génératrice et ne passant pas par le sommet, et une hyperbole lorsque le plan rencontre les deux nappes.
Quand un foyer, une directrice et un rapport sont donnés, on privilégie la caractérisation focale. La comparaison du rapport à 1 indique alors la famille ; l'équation cartésienne reste préférable si l'on doit calculer précisément des intersections ou des coordonnées.
Not to be confused with
Une conique n'est pas un cône. Le cône est une surface de l'espace ; la conique est une courbe plane. Une coupe par un plan donne un cas qui tranche nettement : le cône est l'objet coupé, l'ellipse obtenue est la conique.
Une conique n'est pas non plus une fonction du second degré. Une fonction y = ax² + bx + c a pour graphe une parabole particulière, avec un axe vertical. Une conique générale peut être tournée et peut aussi être une ellipse ou une hyperbole.
Limits and pitfalls
Une équation du second degré ne produit pas toujours une courbe non dégénérée. Elle peut se factoriser en deux droites sécantes, comme x² − y² = 0, qui équivaut à (x − y)(x + y) = 0. Elle peut aussi donner une droite double, comme x² = 0. Il faut donc tester la dégénérescence et analyser l'équation complète avant d'annoncer une hyperbole ou une parabole ; la factorisation, lorsqu'elle est possible, est l'un des moyens de le faire.
Pour l'équation générale, le nombre classe uniquement le type de la partie quadratique : elliptique si Δ < 0, parabolique si Δ = 0 et hyperbolique si Δ > 0. Il ne classe pas à lui seul le lieu représenté : les termes linéaires et le terme constant doivent encore être examinés pour savoir si la courbe est réelle, non vide et non dégénérée.
Lorsque le terme Cxy n'est pas nul, les axes naturels de la conique peuvent être tournés par rapport aux axes de coordonnées. Se fier seulement aux signes de A et B peut alors masquer l'orientation réelle. Une rotation des axes ou l'étude de Δ évite ce piège.
Enfin, une équation comme x² + y² + 1 = 0 n'a aucun point réel, tandis que x² + y² = 0 se réduit au seul point origine. Le symptôme est l'impossibilité d'obtenir une somme de carrés compatible avec zéro ; il faut annoncer un lieu vide ou ponctuel, pas une ellipse ordinaire.
Further reading
ellipse — Pour approfondir la conique fermée, ses axes, ses foyers et son excentricité inférieure à 1.
parabole — Pour étudier le cas charnière d'excentricité 1 et sa caractérisation focale.
hyperbole — Pour examiner une conique à deux branches et d'excentricité supérieure à 1.
Excentricité — Pour préciser le rapport focal qui distingue les trois familles de coniques.
L'ellipse et ses différents attributs — Pour prolonger l'exemple par une présentation détaillée des éléments géométriques de l'ellipse.
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