Center of a conic
The center of a conic is the intersection of its two axes of symmetry. For an ellipse, it is equidistant from the four vertices and is the midpoint of each diameter. For a hyperbola, it is the fixed point about which the curve is symmetric and lies at the intersection of the two principal axes. The circle, a special case of the ellipse whose two axes have the same length, has a unique center equidistant from all points on the curve. A parabola, on the other hand, has no center in the usual sense, since its single axis of symmetry has no perpendicular acting as a second axis; its center is conventionally placed at infinity. In projective geometry, the center of a conic is defined as the pole of the line at infinity with respect to the conic.
Le centre d'une conique est un point tel que la symétrie centrale, c'est-à-dire un demi-tour autour de lui, laisse la courbe inchangée. Toute ellipse ou hyperbole non dégénérée en possède un unique, utile pour lire ou retrouver sa forme canonique, tandis qu'une parabole n'a pas de centre fini.
Contents
What you will learn
- Reconnaître la symétrie centrale d'une ellipse ou d'une hyperbole.
- Calculer le centre d'une ellipse en complétant les carrés.
- Expliquer pourquoi une parabole n'a pas de centre fini.
- Distinguer le centre des foyers et des sommets.
In plain terms
Imaginez une ellipse dessinée sur une feuille, puis pliée suivant chacun de ses deux axes de symétrie. Les deux plis se croisent en un point : le centre. Si l'on fait tourner la feuille d'un demi-tour autour de ce point, l'ellipse revient exactement sur elle-même.
Une hyperbole possède la même symétrie de demi-tour, malgré ses deux branches séparées. Un cercle a aussi un centre. Une parabole, en revanche, ne se superpose pas à elle-même par un demi-tour autour d'un point fini.
Definition
Dans le plan affine, le centre d'une conique est un point autour duquel la courbe possède une symétrie centrale : à tout point de la conique correspond le point opposé par rapport au centre. Lorsqu'une ellipse ou une hyperbole est non dégénérée, ce point est unique. Il se trouve à l'intersection des deux axes de symétrie et au milieu de toute corde passant par lui, appelée diamètre.
Pour l'ellipse d'équation , où les nombres positifs a et b sont les demi-axes, le centre est le point de coordonnées (h ; k). Pour l'hyperbole obtenue en remplaçant le signe plus par un signe moins, le même repérage vaut. Dans le cas particulier a = b, l'ellipse est un cercle et son centre est équidistant de tous ses points.
Une parabole n'a aucun centre fini : elle possède un seul axe de symétrie, mais aucune symétrie centrale. Dire que son centre est « à l'infini » relève d'une convention projective. Dans ce cadre plus large, le centre d'une conique est le pôle de la droite à l'infini par rapport à cette conique.
A step-by-step example
Considérons la conique d'équation . Les données sont les coefficients 4 et 9 des termes quadratiques, −16 et 18 des termes du premier degré, et la constante −11.
1. Regrouper les termes en x et en y donne .
2. Compléter les carrés conduit à .
3. Après réduction puis division par 36, l'équation canonique est :
4. Le centre est donc C(2 ; −1). Les quatre sommets sont (−1 ; −1), (5 ; −1), (2 ; −3) et (2 ; 1) ; C est bien le milieu de chaque paire de sommets opposés.
Le dessin rend visibles les deux axes de symétrie et leur intersection. Un contrôle algébrique consiste à poser x = 2 + u et y = −1 + v : l'équation devient , inchangée lorsque (u ; v) est remplacé par (−u ; −v).
In practice
Pour lire une ellipse ou une hyperbole déjà écrite sous forme canonique, on repère les translations dans les carrés. Dans l'exemple, les expressions (x − 2) et (y + 1) donnent directement le centre C(2 ; −1). Si des termes du premier degré subsistent, on complète d'abord les carrés.
Sur un tracé, on peut chercher le milieu de deux sommets opposés, puis contrôler qu'un demi-tour autour de ce point échange les deux moitiés de la courbe. Cette lecture géométrique est préférable lorsque l'équation n'est pas disponible.
Avant tout calcul, il faut reconnaître la famille de coniques. Une ellipse ou une hyperbole non dégénérée admet un centre fini ; une parabole demande plutôt la recherche de son sommet et de son axe, car aucun point fini n'en est le centre.
Not to be confused with
Centre et foyer. Le centre est fixé par une symétrie de demi-tour, tandis qu'un foyer intervient dans une propriété de distances. Dans une ellipse non circulaire, les deux foyers sont distincts et placés de part et d'autre du centre : aucun n'est le centre.
Centre et sommet. Un sommet appartient à la conique ; le centre d'une ellipse ordinaire se trouve à l'intérieur et n'appartient pas à la courbe. Dans l'exemple, C(2 ; −1) est le milieu des sommets (−1 ; −1) et (5 ; −1), mais il n'est pas lui-même un sommet.
Limits and pitfalls
Parabole. Son axe unique ne suffit pas à produire une symétrie centrale. Le symptôme est qu'un demi-tour autour de n'importe quel point fini ne conserve pas la courbe. Il faut chercher son sommet et son axe ; le « centre à l'infini » appartient au langage projectif.
Cercle. Une infinité de droites sont des axes de symétrie, mais elles passent toutes par un seul et même centre. Il ne faut donc pas conclure que la multiplicité des axes produit plusieurs centres.
Conique dégénérée. Une équation du second degré peut représenter deux droites, une droite double, un point ou l'ensemble vide. Les règles d'unicité valables pour une ellipse ou une hyperbole non dégénérée ne s'y appliquent pas automatiquement ; il faut d'abord identifier l'ensemble représenté. Deux droites sécantes ont leur intersection comme centre, tandis que deux droites parallèles admettent une infinité de centres situés sur leur droite médiane.
Test insuffisant. Le centre d'une ellipse n'appartient généralement pas à la courbe. Remplacer ses coordonnées dans l'équation et obtenir autre chose que zéro n'invalide donc pas le résultat ; le bon contrôle porte sur l'invariance par la transformation (x ; y) ↦ (2h − x ; 2k − y).
Further reading
La fiche conique replace le centre parmi les propriétés générales de cette famille de courbes.
L'article L'ellipse et ses différents attributs approfondit les éléments géométriques qui accompagnent le centre d'une ellipse.
Explore mathematics differently
Discover our magazines, podcasts and games to explore mathematics differently.
See our offers