center of a conic
Dans le plan affine, le centre d’une conique est un point tel que le demi-tour autour de lui laisse la courbe inchangée : il est le milieu de toute paire de points opposés. Une ellipse ou une hyperbole propre en possède un unique — le cercle aussi — tandis qu’une parabole propre n’a pas de centre fini. Ce point sert à recentrer l’équation et à lire plus simplement la géométrie de la conique.
Contents
What you will learn
- Relier le centre d’une conique à sa symétrie par demi-tour.
- Calculer le centre d’une équation générale du second degré.
- Contrôler le centre d’une ellipse à partir de ses sommets opposés.
- Distinguer le cas central de l’ellipse et de l’hyperbole du cas parabolique.
In plain terms
Imaginez une ellipse dessinée sur une feuille. Deux points opposés de son contour se correspondent par un demi-tour autour d’un même point. Ce point immobile est son centre : il se trouve au milieu du grand axe comme du petit axe.
Une hyperbole possède la même symétrie par demi-tour, même si ses deux branches sont séparées. Un cercle a lui aussi un centre unique, malgré la multitude de droites de symétrie qui y passent. Une parabole, en revanche, ne revient pas sur elle-même après un demi-tour autour d’un point fini.
Definition
Le centre d’une conique propre est un point C tel que la symétrie centrale de centre C laisse la courbe inchangée. Autrement dit, lorsqu’un point M appartient à la conique, le point M’ situé de l’autre côté de C avec C milieu de [MM’] appartient aussi à la conique. Pour une ellipse non circulaire ou une hyperbole, C est l’intersection des deux axes de symétrie. Il est aussi le milieu de chaque corde passant par C, appelée diamètre dans ce contexte.
Dans une équation cartésienne , les coordonnées h et k d’un centre fini doivent annuler les termes de degré un après la translation x = X + h et y = Y + k. Elles vérifient donc :
Lorsque , ce système possède un unique candidat. C’est le cas des ellipses, cercle compris, et des hyperboles propres. Le cercle conserve une infinité d’axes de symétrie, mais leur point commun reste unique. Pour une parabole propre, le système ne fournit aucun centre fini ; dans le plan projectif, son centre est un point à l’infini, pôle de la droite à l’infini.
A step-by-step example
Considérons la conique d’équation . Les données sont les coefficients A = 1, B = 0, C = 4, D = −6 et E = 16. Nous cherchons les coordonnées h et k de son centre.
1. La première équation du système donne 2h − 6 = 0, donc h = 3.
2. La seconde donne 8k + 16 = 0, donc k = −2.
3. Le centre candidat est donc C(3 ; −2).
2. La seconde donne 8k + 16 = 0, donc k = −2.
3. Le centre candidat est donc C(3 ; −2).
4. En complétant les carrés, on obtient la forme centrée : , soit . Il s’agit d’une ellipse de demi-grand axe 4 et de demi-petit axe 2.
Le résultat est C(3 ; −2). Pour le contrôler, les sommets horizontaux (−1 ; −2) et (7 ; −2) ont bien C pour milieu ; il en va de même pour les sommets verticaux (3 ; −4) et (3 ; 0).
In practice
Sur un tracé d’ellipse ou d’hyperbole, on repère deux axes de symétrie et on prend leur intersection. Si seuls des sommets opposés sont connus, leur milieu donne le même point. Pour un cercle, deux diamètres non parallèles suffisent, car leur intersection est le centre.
À partir d’une équation du second degré, on résout les deux équations linéaires portant sur h et k, ou l’on complète les carrés lorsque les termes en xy sont absents. La première méthode est préférable si la conique est tournée ; la seconde rend immédiatement visibles le centre et les demi-axes dans un repère adapté.
Dans une construction géométrique où les axes ne sont pas connus, les milieux de cordes parallèles s’alignent sur un diamètre. Deux familles de cordes de directions différentes donnent deux diamètres dont l’intersection localise le centre, à condition que la conique soit centrale.
Not to be confused with
Centre et foyer. Le centre est fixé par un demi-tour qui conserve toute la conique ; un foyer intervient dans une propriété de distances. Dans l’ellipse de l’exemple, le centre est C(3 ; −2), tandis que les deux foyers sont distincts de C.
Centre et sommet. Un sommet appartient à la conique, alors que le centre d’une ellipse ou d’une hyperbole propre n’appartient pas à la courbe. Le point (7 ; −2) est un sommet de l’ellipse de l’exemple ; C(3 ; −2) en est le centre.
Centre et centre de courbure. Le centre de la conique décrit une symétrie globale. Un centre de courbure dépend du point observé et du cercle qui approche localement la courbe. Sur une ellipse non circulaire, il varie donc le long du contour.
Limits and pitfalls
Parabole propre. Son unique axe de symétrie ne suffit pas à définir un centre fini : un demi-tour autour d’un point ne conserve pas la courbe. Il faut parler de sommet dans le plan affine. Dans le plan projectif, son centre est conventionnellement un point à l’infini.
Cercle. Dire que le centre est seulement l’intersection de « deux axes » masque un cas particulier. Tout diamètre porté par une droite est un axe de symétrie, et toutes ces droites passent par le même centre unique, équidistant de chaque point du cercle.
Équation dégénérée. Résoudre le système en h et k donne un centre de la relation quadratique, mais ne garantit pas une ellipse ou une hyperbole propre. Par exemple, représente deux droites sécantes. Il faut donc identifier la nature de la conique avant d’interpréter le point obtenu.
Repère tourné. La présence d’un terme en xy ne supprime pas le centre. Elle indique seulement que les axes principaux ne sont pas parallèles aux axes du repère. Il faut conserver ce terme dans le système, puis effectuer une rotation si l’on veut lire les axes principaux.
Further reading
L’article conique replace le centre parmi les propriétés communes et les différentes familles de courbes du second degré.
L’entrée ellipse approfondit la courbe fermée, ses axes, ses sommets et ses foyers autour d’un centre fini.
L’entrée hyperbole montre comment deux branches séparées restent liées par une même symétrie centrale.
L’entrée parabole permet d’étudier le cas non central et le rôle distinct de son sommet et de son axe.
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