center of symmetry
Un centre de symétrie d’une figure est un point autour duquel un demi-tour laisse cette figure inchangée. Pour le vérifier, chaque point de la figure doit avoir, de l’autre côté du centre et à la même distance, un point qui appartient aussi à la figure.
Contents
What you will learn
- Reconnaître un centre de symétrie par l’invariance après un demi-tour.
- Calculer le centre d’un parallélogramme comme milieu commun de ses diagonales.
- Distinguer centre de symétrie, axe de symétrie et centre de gravité.
- Écarter les faux centres, notamment l’intersection des axes d’un triangle équilatéral.
In plain terms
Imaginez une figure dessinée sur une feuille, puis faites tourner la feuille d’un demi-tour autour d’une punaise. Si le dessin reprend exactement la même place, la punaise marque un centre de symétrie. Chaque point du dessin arrive alors sur un autre point du dessin, situé de l’autre côté du centre et à la même distance. Le centre, lui, ne bouge pas. Le centre d’un cercle et le croisement des diagonales d’un parallélogramme ont cette propriété.
Definition
Le centre de symétrie d’une figure est un point O autour duquel un demi-tour laisse la figure globalement inchangée. Pour chaque point M de la figure, le point image M′ appartient lui aussi à la figure. Les points M, O et M′ sont alignés, et O est le milieu du segment [MM′]. Cette transformation s’appelle la symétrie centrale de centre O, ou la rotation de 180° autour de O.
Dans un repère du plan, si le point O a pour coordonnées (a ; b), le point M a pour coordonnées (x ; y) et son image M′ a pour coordonnées (x′ ; y′), le critère s’écrit : . Appliquer deux fois cette règle ramène chaque point à sa position initiale. Un cercle a son centre pour centre de symétrie. Dans tout parallélogramme, ce point est l’intersection des diagonales ; cela vaut donc aussi pour le rectangle et le losange.
A step-by-step example
Considérons le parallélogramme ABCD défini par les points A(1 ; 1), B(5 ; 1), C(6 ; 4) et D(2 ; 4). La figure associée rend visibles les deux diagonales et leur point d’intersection.
1. Calculons le milieu de [AC]. Ses coordonnées sont ((1 + 6) / 2 ; (1 + 4) / 2), soit O(3,5 ; 2,5).
2. Calculons le milieu de [BD]. Ses coordonnées sont ((5 + 2) / 2 ; (1 + 4) / 2), soit encore O(3,5 ; 2,5). Les diagonales ont donc le même milieu.
3. Le demi-tour de centre O échange A avec C et B avec D. Chaque sommet arrive ainsi sur un sommet du parallélogramme, tandis que chaque côté arrive sur le côté opposé.
Le parallélogramme entier se superpose donc à lui-même : O est son centre de symétrie. Pour contrôler le résultat, on vérifie que les quatre différences de coordonnées entre chaque sommet et O changent simplement de signe par paires.
In practice
Sur une figure tracée. Faites mentalement un demi-tour autour du point candidat. Si un sommet, un bord ou un motif n’a pas de correspondant opposé à la même distance, ce point n’est pas un centre de symétrie. Un papier calque est une alternative utile lorsque la superposition est difficile à juger à l’œil.
Dans un parallélogramme. Tracez les deux diagonales : leur intersection donne directement le centre de symétrie. Avec des coordonnées, calculez plutôt les deux milieux ; cette méthode est préférable lorsque la précision du dessin ne suffit pas.
Dans un motif. Associez chaque détail à son image après un demi-tour. La recherche d’un axe convient mieux si la répétition observée vient d’un pliage ou d’un effet de miroir, et non d’une rotation de 180°.
Not to be confused with
Centre et axe de symétrie. Un centre est un point autour duquel on effectue un demi-tour ; un axe est une droite qui joue le rôle d’un miroir. Tout parallélogramme possède un centre de symétrie mais, en général, aucun axe de symétrie. Les rectangles et les losanges, dont le carré, sont des cas particuliers qui possèdent des axes de symétrie.
Centre de symétrie et centre de gravité. Le premier décrit l’invariance d’une figure par rotation. Le second dépend de la répartition des masses. Pour une plaque homogène en forme de parallélogramme, ils coïncident ; avec une masse ajoutée près d’un sommet, le centre de gravité se déplace alors que le centre de symétrie de la forme ne change pas.
Limits and pitfalls
Plusieurs axes ne suffisent pas toujours. Leur point d’intersection est un centre de symétrie lorsque la composition de deux réflexions est un demi-tour, notamment pour deux axes perpendiculaires. Un triangle équilatéral possède trois axes concourants, mais un demi-tour ne le conserve pas : le point commun n’est donc pas un centre de symétrie.
Le centre n’existe pas pour toute figure. Un triangle non dégénéré n’en possède aucun. Le milieu d’un segment en est un, et l’unique point d’une figure réduite à un point est son propre centre. Il faut tester toute la figure, pas seulement quelques points bien appariés.
L’unicité suppose un cadre. Une figure plane non vide et bornée ne peut avoir qu’un seul centre de symétrie. Une droite entière, qui n’est pas bornée, admet au contraire chacun de ses points comme centre : un demi-tour autour d’un point de la droite conserve toute la droite.
Further reading
La symétrie centrale formalise la transformation qui associe M à M′ et permet de travailler avec ses propriétés géométriques.
Le Demi-tour replace cette même opération dans la famille des rotations et précise son angle caractéristique de 180°.
Explore mathematics differently
Discover our magazines, podcasts and games to explore mathematics differently.
See our offers