Al-Haytam

Né à Basra en 965, dans l'actuel Irak, Ibn al-Haytham a étudié les mathématiques, l'astronomie, la physique et la médecine. Son nom a été latinisé en Alhacen.

Deux fils tendus qui se croisent donnent une intuition de son énoncé géométrique : ils ne peuvent pas suivre tous les deux, sans jamais la rencontrer, la direction d'un même troisième fil. Ses travaux relient ainsi des questions abstraites, comme les parallèles ou les équations, à l'étude concrète de l'optique.

Ibn al-Haytham, appelé Alhacen dans la tradition latine, est un savant né à Basra en 965 et mort en 1039. Il est présenté comme mathématicien, astronome, physicien et médecin. Ses traités d'optique ont reçu des applications pratiques dès le XI^e siècle, notamment dans la fabrication de lorgnons.

En géométrie euclidienne, il a formulé un énoncé équivalent au cinquième postulat d'Euclide. Cet énoncé porte sur trois droites distinctes d'un même plan : si deux d'entre elles se coupent, elles ne peuvent pas être toutes les deux parallèles à la troisième. Dans le cadre de la géométrie neutre — qui admet les axiomes usuels d'incidence, d'ordre et de congruence, mais pas le postulat des parallèles —, cet énoncé et le cinquième postulat sont logiquement équivalents : chacun permet de démontrer l'autre ; cela ne signifie pas qu'ils ont la même rédaction.

Ses recherches mathématiques concernent aussi des équations de degrés 3 et 4. L'introduction de la preuve par 9 lui est attribuée avec réserve : la formulation « aurait introduit » signale que ce point n'est pas présenté comme certain.

Dans un repère du plan euclidien, considérons trois droites. La droite d est horizontale ; la droite p est une autre horizontale ; la droite q est oblique. La figure rend leur configuration directement contrôlable.

Données :
la droite d a pour équation y = 0 ;
la droite p a pour équation y = 1 ;
la droite q a pour équation y = x.

1. Comparer d et p : elles ont la même direction et des ordonnées à l'origine différentes, donc elles sont parallèles.
2. Chercher l'intersection de q avec d : y = x et y = 0 donnent x = 0, soit le point (0 ; 0).
3. Chercher l'intersection de q avec p : y = x et y = 1 donnent x = 1, soit le point (1 ; 1).
4. Constater que p et q se coupent, tandis qu'une seule des deux, p, est parallèle à d.

Le contrôle se refait en remplaçant x par 0, puis par 1 dans l'équation de q. Cette configuration illustre l'énoncé attribué à Ibn al-Haytham : deux droites qui se coupent ne sont pas toutes deux parallèles à une même troisième droite.

En histoire des sciences, le double nom est le premier repère utile. Une mention d'Ibn al-Haytham et une mention d'Alhacen renvoient à la même personne ; le contexte linguistique explique le choix du nom.

En géométrie, son énoncé sert à examiner une configuration de parallèles. Lorsque deux droites se coupent, il suffit de tester leur relation à une troisième : elles ne peuvent pas lui être toutes deux parallèles dans le plan euclidien.

Pour situer l'étendue de ses travaux, on distingue les domaines au lieu de les fondre : traités d'optique et applications pratiques d'un côté, équations de degrés 3 et 4 ainsi que géométrie de l'autre.

Ibn al-Haytham et Alhacen. Ce ne sont pas deux savants différents. Le premier est son nom ; le second est sa forme latinisée. Un texte latin peut donc employer Alhacen pour parler d'Ibn al-Haytham.

Le cinquième postulat d'Euclide et l'énoncé d'Ibn al-Haytham. Les rédactions ne sont pas identiques. Dans le cadre de la géométrie neutre — avec les axiomes usuels d'incidence, d'ordre et de congruence, mais sans postulat des parallèles —, ils sont logiquement équivalents : en ajoutant l'un aux autres axiomes, on peut démontrer l'autre. Il s'agit d'une équivalence entre postulats, et non d'une simple analogie de formulation.

Cadre euclidien. L'énoncé sur les droites accompagne le cinquième postulat d'Euclide. Il ne faut donc pas l'exporter sans précaution vers une autre géométrie ; il faut d'abord préciser le cadre dans lequel « droite » et « parallèle » sont définies.

Portée d'un exemple. La configuration y = 0, y = 1 et y = x vérifie un cas particulier. Elle rend l'énoncé visible, mais ne démontre pas à elle seule son équivalence générale avec le cinquième postulat.

Attribution incertaine. La preuve par 9 est associée à Ibn al-Haytham sous une forme prudente. Le mot « aurait » est le symptôme à conserver : il ne faut pas transformer cette attribution en certitude.

Degrés des équations. Dire qu'il a travaillé sur les degrés 3 et 4 ne revient pas à lui attribuer une méthode universelle pour toutes ces équations. Il faut s'en tenir à l'étendue explicitement attestée de ses travaux.

Euclide présente le géomètre auquel est rattaché le cinquième postulat et replace l'énoncé d'Ibn al-Haytham dans son héritage mathématique.

Dans l'œil d'Euclide prolonge la lecture par un article consacré aux liens entre regard et géométrie.