Pappus line

Imaginez deux droites portant chacune trois points. Reliez A à B' et A' à B, puis A à C' et A' à C, enfin B à C' et B' à C : vous obtenez six jonctions. Croisez ensuite ces trois paires de droites. Les trois croisements se placent toujours sur une même droite, à condition que les six points soient disposés comme dans l'énoncé de Pappus.

Cette droite commune est appelée droite de Pappus. Elle transforme une construction faite de six points et de six droites en un alignement vérifiable. La géométrie projective permet aussi de traiter proprement les situations où un croisement se trouve à l'infini.

On considère deux droites distinctes. Les points A, B et C appartiennent à la première, tandis que les points A', B' et C' appartiennent à la seconde. Dans la configuration ordinaire, on suppose les points de chaque droite distincts afin d'écarter les cas dégénérés ; pour définir une droite joignant deux points situés sur des supports distincts, ces deux points doivent eux aussi être géométriquement distincts.

On forme ensuite les intersections de (AB') avec (A'B), de (AC') avec (A'C), et de (BC') avec (B'C). Le théorème de Pappus affirme que ces trois intersections sont collinéaires, c'est-à-dire qu'elles appartiennent à une même droite. Cette droite est la droite de Pappus associée aux deux triplets de points.

L'énoncé est naturellement projectif : deux droites parallèles peuvent avoir une intersection commune située sur la droite à l'infini. Dans le plan affine, la droite de Pappus est généralement visible comme une droite ordinaire, sauf dans les configurations dégénérées où il faut interpréter les incidences avec le cadre projectif.

La configuration repose sur quatre éléments. Les deux droites supports portent respectivement A, B, C et A', B', C'. Les six droites de jonction relient chaque point d'une ligne à un point de l'autre ligne selon les trois paires (AB', A'B), (AC', A'C) et (BC', B'C).

Chaque paire de jonctions fournit un point d'intersection. Les trois intersections, et non les six points de départ, définissent la droite de Pappus. Modifier un point modifie les droites de jonction et donc les trois intersections ensemble ; l'alignement est la relation conservée par la configuration. Les couleurs, l'échelle et l'orientation du dessin ne définissent pas l'objet.

Prenons deux droites horizontales, y = 0 et y = 1, dans un repère du plan. Choisissons A = (0, 0), B = (1, 0), C = (3, 0), puis A' = (0, 1), B' = (2, 1) et C' = (4, 1).

Les trois intersections à calculer sont celles de (AB') avec (A'B), de (AC') avec (A'C), et de (BC') avec (B'C).

Pour la première paire, les équations sont y = x/2 et y = 1 − x. Leur égalité donne x = 2/3, puis y = 1/3 : P₁ = (2/3, 1/3).
Pour la deuxième paire, y = x/4 et y = 1 − x/3. Leur égalité donne x/4 = 1 − x/3, donc x = 12/7 et y = 3/7 : P₂ = (12/7, 3/7).
Pour la troisième paire, y = (x − 1)/3 et y = 3 − x. Leur égalité donne (x − 1)/3 = 3 − x, donc x = 5/2 et y = 1/2 : P₃ = (5/2, 1/2).

Le contrôle est direct : la droite passant par P₁ et P₂ a pour équation y = x/11 + 3/11, et P₃ la vérifie car 1/2 = (5/2)/11 + 3/11. Les trois points sont donc bien alignés.

Dans un exercice de géométrie projective, la droite de Pappus sert à prédire un alignement. Après avoir construit les six droites de jonction, on calcule deux intersections ; la droite qui les relie donne le lieu attendu pour la troisième.

Pour vérifier une figure, on peut travailler avec des coordonnées. Une équation de droite pour chacune des six jonctions permet de résoudre les trois systèmes, puis de tester si les trois points obtenus satisfont une même équation.

Lorsque des droites sont parallèles, le calcul affine peut ne pas fournir un point fini. Le cadre projectif est alors préférable, car il conserve l'incidence en ajoutant les points à l'infini.

La droite de Pappus ne désigne pas une droite support quelconque portant A, B, C ou A', B', C'. Elle est construite à partir des trois intersections croisées. Dans l'exemple, y = 0 et y = 1 sont les supports, tandis que y = x/11 + 3/11 est la droite de Pappus.

Elle ne se confond pas non plus avec le théorème de Pappus : le théorème est l'énoncé d'alignement, alors que la droite est l'objet géométrique obtenu dans une configuration donnée.

Un premier piège vient d'un point d'intersection à l'infini. Dans un dessin affine, deux droites parallèles ne se coupent pas ; le symptôme est qu'un des trois points semble manquer. Il faut alors passer au plan projectif et compter ce point à l'infini, plutôt que conclure que le théorème échoue.

Un second piège est une configuration dégénérée : si des points coïncident ou si une paire de droites de jonction cesse de définir une intersection ordinaire, la formulation affine usuelle n'est plus directement applicable. Il faut vérifier les incidences dans une version projective adaptée, sans conserver mécaniquement des notations devenues ambiguës.

Pour replacer la droite de Pappus dans son cadre, la fiche géométrie projective présente le langage des incidences et le rôle des points à l'infini. Le théorème de Pappus permet ensuite d'approfondir l'énoncé général dont la droite est la conclusion géométrique.