apothem
L'apothème d'un polygone régulier désigne : (1) la longueur du rayon du cercle inscrit dans ce polygone, c'est-à-dire la distance du centre au milieu de l'un de ses côtés ; (2) le segment perpendiculaire issu du centre jusqu'au milieu d'un côté, appartenant à la médiatrice de ce côté. Pour un polygone régulier à n côtés de longueur a, l'apothème vaut a / (2 tan(π/n)).
Contents
What you will learn
- Identifier l’apothème comme segment et comme longueur.
- Le relier au rayon du cercle inscrit et à la médiatrice d’un côté.
- Calculer l’apothème d’un polygone régulier avec a/(2 tan(π/n)).
- Refaire et contrôler le calcul pour un hexagone de côté 6 cm.
In plain terms
Imaginez un hexagone régulier posé autour d’un cercle qui touche chacun de ses côtés. Depuis le centre, tracez le plus court chemin jusqu’à un côté : il arrive perpendiculairement au milieu de ce côté. Ce segment est un apothème ; sa longueur porte le même nom.
Tous les côtés jouant le même rôle dans un polygone régulier, ces segments ont la même longueur. Cette longueur est aussi le rayon du cercle inscrit.
Definition
Dans un polygone régulier, l’apothème est le segment qui joint le centre au milieu d’un côté et qui est perpendiculaire à ce côté. Par extension, le mot désigne aussi la longueur de ce segment. Il s’agit du rayon du cercle inscrit, tangent à chacun des côtés. Le segment appartient à la médiatrice du côté considéré ; il ne constitue pas, à lui seul, toute cette droite.
Notons n le nombre de côtés, avec n entier au moins égal à 3, et a leur longueur commune. En partageant le polygone depuis son centre, la moitié d’un triangle central est rectangle : son angle au centre vaut π/n, son côté opposé vaut a/2 et son côté adjacent est l’apothème r. On obtient alors :
A step-by-step example
Considérons un hexagone régulier. Les données sont les suivantes : il possède n = 6 côtés, et chaque côté mesure a = 6 cm. On cherche la longueur r de son apothème.
1. L’angle utilisé dans le triangle rectangle vaut π/n = π/6.
2. On remplace a et n dans la formule : .
3. Comme , la valeur exacte est , soit environ 5,20 cm.
4. Pour contrôler le résultat, coupons l’hexagone en six triangles équilatéraux de côté 6 cm. La hauteur de l’un d’eux vaut 3√3 cm : elle coïncide avec l’apothème obtenu.
In practice
Pour construire le cercle inscrit d’un polygone régulier, on trace depuis le centre la perpendiculaire à un côté. Le pied de cette perpendiculaire fixe le point de tangence, et l’apothème donne le rayon du cercle.
Pour calculer l’apothème lorsque le nombre et la longueur des côtés sont connus, la formule trigonométrique est directe. Si le dessin fournit déjà le centre et le milieu d’un côté, une mesure du segment peut plutôt servir d’estimation, avec la précision de l’instrument.
Dans l’hexagone de côté 6 cm, le calcul donne 3√3 cm, soit environ 5,20 cm. Une valeur lue sur une figure ne doit donc être comparée à 5,20 cm qu’en tenant compte de l’échelle et de l’incertitude de mesure.
Not to be confused with
Apothème et rayon du cercle circonscrit. L’apothème atteint le milieu d’un côté et mesure le rayon du cercle inscrit. Le rayon circonscrit atteint un sommet : dans l’hexagone de côté 6 cm, il vaut 6 cm, contre 3√3 cm pour l’apothème.
Apothème et médiatrice. L’apothème est un segment borné par le centre et le milieu d’un côté. La médiatrice est une droite entière, perpendiculaire au côté en son milieu ; l’apothème n’en est qu’une portion.
Apothème et hauteur. Une hauteur part d’un sommet vers un côté opposé ou sa droite support. L’apothème part du centre vers un côté : les points de départ permettent de trancher sur une figure.
Limits and pitfalls
Le polygone doit être régulier. Si les côtés ou les angles ne sont pas tous égaux, les distances du centre aux côtés ne sont pas nécessairement identiques. Il faut alors étudier chaque côté au lieu d’utiliser un apothème unique.
Le seuil est trois côtés. La formule suppose un entier n ≥ 3. Avec moins de trois côtés, il n’existe pas de polygone au sens usuel et l’expression n’a pas de domaine géométrique.
Une longueur n’est pas un segment. Dire « l’apothème vaut 5,20 cm » parle d’une longueur approchée. Dire « tracer l’apothème » parle du segment ; il faut conserver cette différence de nature.
Un dessin n’est pas une preuve de tangence. Le rayon doit atteindre le côté perpendiculairement en son milieu. Si ce critère n’est pas vérifié, le segment dessiné ne justifie pas l’emploi de la formule.
Further reading
Le cercle inscrit précise pourquoi l’apothème est un rayon et comment les points de tangence se placent sur les côtés.
La fiche Médiatrice approfondit la droite sur laquelle se trouve l’apothème associé à un côté.
L’article Existe-t-il des polygones réguliers à sommets entiers ? prolonge la réflexion sur les contraintes géométriques des polygones réguliers.
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