Brouncker's formula

Imaginez un calcul emboîté : au fond, on effectue une division, puis on remonte étage par étage. Si l’on arrête après un nombre fini d’étages, on obtient une fraction ordinaire. Avec la formule de Brouncker, ces fractions valent successivement 3/2, 15/13, puis 105/76. Elles se placent de part et d’autre de 4/π et s’en rapprochent à mesure que l’emboîtement se prolonge.

La formule de Brouncker est une fraction continue généralisée dont la valeur limite est le nombre 4/π. Son premier terme vaut 1. Les numérateurs successifs sont les carrés des nombres impairs 1, 3, 5, 7, …, tandis que chaque dénominateur intermédiaire commence par 2.

En notant par $BB$ la valeur de l’expression infinie, la formule s’écrit :

Une réduite est obtenue en coupant cet emboîtement après un carré impair et en évaluant depuis le niveau le plus profond. Chaque réduite est rationnelle, alors que leur limite fait intervenir π. Brouncker a proposé cette formule au XVIIe siècle en lien avec les travaux de John Wallis sur le produit infini de π/4. Elle est aussi reliée à la série alternée de Leibniz-Gregory pour π/4.

Pour former la réduite d’ordre $nn$, on conserve les $nn$ premiers carrés impairs, de 1² jusqu’au carré du n-ième nombre impair, $(2n-1{)}^2(2n-1)^2$, ainsi que les termes 2 qui les séparent. On part du dernier dénominateur, puis on remonte les divisions jusqu’au terme initial 1. Le résultat est une fraction rationnelle ; lorsque l’ordre augmente indéfiniment, ces réduites convergent vers 4/π.

La formule concerne précisément l’emboîtement infini dont les numérateurs sont 1², 3², 5², … et dont les termes intermédiaires valent tous 2. Pour effectuer un calcul fini, il faut choisir un ordre de troncature, fermer le dernier étage par 2, puis remonter sans arrondir. On obtient alors une approximation rationnelle de 4/π, et non une valeur exacte de cette constante.

Si l’on remplace un carré impair ou un terme 2 par une autre valeur, le calcul reste une fraction emboîtée, mais la formule de Brouncker n’est plus appliquée. Il faut alors étudier séparément la convergence et la limite de la nouvelle fraction continue.

On veut approcher 4/π avec les trois premières réduites. Les données sont le terme initial 1, les carrés 1², 3² et 5², et le dénominateur intermédiaire 2. Chaque calcul se fait exactement depuis l’étage le plus profond.

1. Avec un étage : $B_1=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}=\mathrm{1,5}B\_1=1+\backslash frac\{1\}\{2\}=\backslash frac\{3\}\{2\}=1\{,\}5$.
2. Avec deux étages : $B_2=1+\frac{1}{2+\frac{9}{2}}=\frac{15}{13}\approx \mathrm{1,153846}B\_2=1+\backslash frac\{1\}\{2+\backslash frac\{9\}\{2\}\}=\backslash frac\{15\}\{13\}\backslash approx1\{,\}153846$.
3. Avec trois étages : $B_3=1+\frac{1}{2+\frac{9}{2+\frac{25}{2}}}=\frac{105}{76}\approx \mathrm{1,381579}B\_3=1+\backslash frac\{1\}\{2+\backslash frac\{9\}\{2+\backslash frac\{25\}\{2\}\}\}=\backslash frac\{105\}\{76\}\backslash approx1\{,\}381579$.

La cible vaut 4/π ≈ 1,273240. Le contrôle consiste à comparer les écarts absolus : ils valent environ 0,226760, 0,119393 et 0,108339. Le troisième est plus petit que le deuxième, mais les valeurs passent alternativement au-dessus et au-dessous de la cible. La figure matérialise cette oscillation.

Pour obtenir une approximation rationnelle de 4/π, on choisit une profondeur, on évalue la réduite exactement, puis on compare son écart à la précision recherchée. Si l’objectif est une valeur décimale très précise, un calcul numérique spécialisé est préférable.

Pour étudier une fraction continue, la formule sert d’exemple historique où chaque coefficient suit une règle visible. On examine les réduites successives et leur convergence. Une fraction continue simple est une meilleure alternative lorsque tous les numérateurs doivent valoir 1.

Pour comparer des procédés liés à π, on fixe d’abord la même quantité cible et le même critère d’erreur. La série de Leibniz-Gregory fournit π/4 par sommes partielles ; Brouncker fournit 4/π par fractions emboîtées.

La série de Leibniz-Gregory. Elle additionne alternativement les inverses des nombres impairs et converge vers π/4. La formule de Brouncker emboîte des divisions utilisant les carrés impairs et converge vers 4/π. Une somme partielle relève donc de Leibniz-Gregory ; une réduite emboîtée relève de Brouncker.

Une fraction continue simple. Dans une fraction continue simple, les numérateurs des étages valent 1. Ceux de Brouncker sont 1², 3², 5², … : il s’agit donc d’une fraction continue généralisée, même si les deux objets produisent des réduites rationnelles.

Les premières réduites n’avancent pas dans un seul sens. Les valeurs 3/2, 15/13 et 105/76 passent au-dessus, au-dessous, puis au-dessus de 4/π. Il faut contrôler l’écart absolu plutôt que conclure à partir d’une hausse ou d’une baisse isolée.

Une troncature reste une approximation. Même si son calcul est exact comme fraction rationnelle, une réduite finie n’est pas égale à 4/π. Le symbole ≈ doit remplacer le signe = dès que la réduite est comparée numériquement à la limite.

Une comparaison de vitesse exige un critère commun. Brouncker converge plus rapidement que la série de Leibniz, connue pour sa lenteur, mais le nombre d’étages et le nombre de termes ne représentent pas exactement le même travail. Il faut annoncer la quantité approchée, le coût retenu et l’erreur mesurée.

La fiche Fraction continue présente le cadre général, le vocabulaire des étages et le principe des réduites rationnelles.

La fiche formule de Leibniz permet de distinguer la série alternée pour π/4 de l’emboîtement de Brouncker pour 4/π.

L’article Les fractions continues, replace ce type de développement dans une présentation plus large de ses usages et de ses propriétés.