circle of Apollonius
The term circle of Apollonius denotes two distinct notions. First, the locus of points M such that the ratio MA/MB is constant and equal to k (with k > 0 and k ≠ 1) is a circle, called the circle of Apollonius associated with points A and B and the ratio k. This circle has the segment IJ as its diameter, where I and J are the points on line AB that divide the segment BA in the ratio k, internally and externally. Second, the fractal figure generated by three mutually tangent circles is also called the circle of Apollonius, or sometimes the Apollonian gasket. Starting with a curvilinear triangle whose sides are arcs of circles, we inscribe a circle tangent to these three arcs, then insert new circles into the gaps by repeating the process indefinitely. This construction is one of the oldest known examples of a fractal, studied by Apollonius of Perga in the third century BCE.
Pour deux points distincts A et B, un réel k > 0 avec k ≠ 1, et un point M distinct de B, le cercle d'Apollonius est le lieu des points M tels que MA/MB = k. Il rassemble donc les positions dont les distances à A et B gardent la même proportion. Le même nom désigne aussi une fractale obtenue en ajoutant indéfiniment des cercles tangents dans les interstices entre trois cercles mutuellement tangents.
Contents
What you will learn
- Identifier les deux sens de cercle d'Apollonius.
- Calculer le cercle associé à deux points et à un rapport.
- Reconnaître les cas k = 1 et A = B qui ne donnent pas ce cercle.
- Suivre le principe itératif du gasket d'Apollonius.
In plain terms
Imaginez deux repères fixes A et B. Vous cherchez tous les endroits d'où A est exactement deux fois plus éloigné que B. En marquant ces endroits, vous obtenez un cercle : le rapport des deux distances ne change pas, même si chacune varie.
Le même nom désigne aussi une dentelle de cercles. Trois cercles tangents laissent entre eux un interstice courbe ; un nouveau cercle vient le remplir, puis le geste recommence dans chaque nouvel interstice.
Definition
Soient deux points distincts A et B. Pour un nombre réel k strictement positif et différent de 1, le cercle d'Apollonius relatif à A, B et k est l'ensemble des points M qui vérifient . Les lettres MA et MB désignent les distances de M à A et à B. Ce lieu est un cercle dont le centre appartient à la droite (AB).
La droite (AB) coupe ce cercle en deux points I et J. Ils réalisent le même rapport de distances, l'un en division intérieure et l'autre en division extérieure ; le segment [IJ] est un diamètre. Si la distance AB vaut d, le rayon r du cercle vaut .
Le nom s'applique aussi au gasket d'Apollonius. Cette fractale part de trois cercles mutuellement tangents : chaque triangle curviligne reçoit un cercle tangent à ses trois arcs, puis l'opération se répète indéfiniment dans les nouveaux interstices. La source rattache cette construction à Apollonius de Perge, au troisième siècle avant notre ère.
What it is made of
Dans le lieu géométrique, cinq données jouent des rôles distincts : les points fixes A et B servent de repères ; le nombre k impose le rapport ; le point mobile M teste la condition ; les points I et J en sont les solutions alignées avec A et B. Le choix de A, B et k suffit à déterminer le cercle. Les points I et J en fixent un diamètre, donc son centre et son rayon. Une rotation ou une translation du dessin change son orientation ou sa position, pas ces relations.
Dans la fractale, les trois cercles initiaux délimitent des triangles curvilignes. Chaque interstice commande la position et la taille du cercle qui lui est tangent. Ce nouveau cercle crée à son tour de plus petits interstices : l'itération, et non la couleur ou l'échelle du tracé, produit la structure.
A step-by-step example
Dans un repère orthonormé, prenons A de coordonnées (0, 0), B de coordonnées (6, 0) et le rapport k = 2. Un point M a pour coordonnées (x, y). Nous cherchons les positions de M telles que MA soit le double de MB.
1. Les deux distances donnent la condition suivante : .
2. Comme les distances sont positives, nous pouvons élever l'égalité au carré : .
3. Le développement et la mise sous forme canonique conduisent à . Le lieu cherché est donc le cercle de centre (8, 0) et de rayon 4. Ses intersections avec l'axe horizontal sont I = (4, 0) et J = (12, 0).
4. Un contrôle est possible avec le point (8, 4) du cercle : sa distance à A vaut 4√5 et sa distance à B vaut 2√5. Leur rapport vaut bien 2. La figure matérialise le diamètre [IJ] et ce contrôle par les deux segments issus du point rouge.
In practice
Pour construire le lieu, placez A et B, puis déterminez sur leur droite les deux points qui partagent les distances dans le rapport k. Le cercle de diamètre [IJ] donne alors toutes les positions possibles de M.
Pour contrôler un point candidat, mesurez MA et MB dans la même unité, puis comparez leur quotient à k. Si les distances doivent être égales, k vaut 1 : il faut utiliser la médiatrice de [AB], et non un cercle.
Pour obtenir le gasket, repérez un interstice bordé par trois arcs et inscrivez-y le cercle tangent aux trois bords. Une construction finie montre seulement quelques générations ; la fractale correspond à la poursuite idéale du procédé.
Not to be confused with
Avec la médiatrice de [AB]. La médiatrice rassemble les points pour lesquels MA = MB. Le cercle d'Apollonius exige au contraire un rapport k différent de 1. Si un point est à 3 unités de A et de B, il appartient à la médiatrice, pas au cercle de rapport 2.
Avec un cercle tangent à trois cercles donnés. Un tel cercle répond à une condition de tangence. Le premier sens du cercle d'Apollonius répond à une condition de rapport de distances à deux points. Le test porte donc sur trois tangences dans un cas, sur le quotient MA/MB dans l'autre.
Limits and pitfalls
Le seuil k = 1 change la nature du lieu. L'égalité MA/MB = 1 signifie MA = MB : le résultat est la médiatrice de [AB], pas un cercle. Il faut donc traiter ce cas séparément.
Les deux points fixes doivent être distincts. Si A et B coïncident, le quotient vaut 1 partout où il est défini et il est indéfini au point commun. Aucun cercle d'Apollonius de rapport k ≠ 1 n'en résulte.
Le point B n'est jamais admissible. Au point B, la distance MB est nulle et le quotient MA/MB n'est pas défini. Une manipulation algébrique ne doit pas introduire ce point parmi les solutions.
Une image du gasket reste finie. Le dessin s'arrête lorsque les cercles deviennent trop petits, alors que la construction définie dans la source se poursuit indéfiniment. Il faut lire l'image comme plusieurs étapes de l'itération, non comme son achèvement.
Further reading
Le glossaire Lieu géométrique replace le cercle d'Apollonius parmi les ensembles de points définis par une condition.
L'entrée fractale déterministe précise le rôle d'une règle répétée dans la formation d'une structure fractale.
L'article La dimension fractale prolonge la lecture vers la manière de quantifier des formes construites à plusieurs échelles.
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