Ford circle
Le cercle de Ford associé à une fraction irréductible p/q, avec q > 0, est le cercle de centre (p/q, 1/(2q²)) et de rayon 1/(2q²) : il est tangent à l'axe des abscisses en (p/q, 0). Cette construction traduit l'arithmétique des fractions en géométrie : pour deux fractions irréductibles distinctes p/q et a/b, avec q, b > 0, les cercles ne se coupent jamais et sont tangents exactement lorsque |pb − aq| = 1.
Contents
What you will learn
- Construire le cercle associé à une fraction irréductible à partir de son centre et de son rayon.
- Vérifier la tangence de deux cercles avec le déterminant des numérateurs et dénominateurs.
- Relier la tangence au voisinage dans les suites de Farey.
- Éviter les erreurs dues aux fractions non réduites et aux dessins hors échelle.
In plain terms
Placez une fraction sur une droite horizontale, par exemple 1/2. Juste au-dessus, imaginez un cercle posé sur la droite à cet endroit. Son dénominateur règle sa taille : plus il est grand, plus le cercle est petit. Ainsi, chaque fraction irréductible reçoit un cercle bien déterminé.
Ces cercles ne se chevauchent jamais. Certains se touchent exactement, comme ceux de 1/2 et 1/3. Cette géométrie rend visibles des relations arithmétiques entre fractions, en particulier le voisinage dans les suites de Farey.
Definition
Soit une fraction irréductible dont le numérateur est l'entier p et le dénominateur l'entier strictement positif q. Son cercle de Ford, noté C[p/q], a pour centre le point d'abscisse p/q et d'ordonnée 1/(2q2). Son rayon vaut aussi 1/(2q2). Il est donc tangent à l'axe des abscisses au point (p/q, 0). Le cercle dépend du nombre rationnel, et non d'une écriture non réduite de ce nombre.
Pour deux fractions irréductibles distinctes p/q et a/b, les cercles correspondants sont tangents extérieurement exactement lorsque . Sinon, ils sont disjoints ; deux cercles de Ford ne se coupent jamais en deux points. Entre 0 et 1, ce critère caractérise aussi les fractions voisines dans une suite de Farey appropriée.
La famille relie ainsi géométrie, arithmétique des fractions, médiation de Farey et fractions continues.
What it is made of
Quatre données structurent la construction. La fraction p/q fournit l'abscisse du point de contact. La condition q > 0 fixe une écriture sans ambiguïté de signe. L'irréductibilité garantit qu'un même rationnel n'est pas associé à plusieurs tailles. Enfin, le nombre 1/(2q2) sert à la fois d'ordonnée du centre et de rayon.
L'égalité entre l'ordonnée du centre et le rayon impose la tangence à l'axe des abscisses. Le carré du dénominateur commande l'échelle : doubler q divise le rayon par quatre. Ces données suffisent à placer le centre et à tracer le cercle. La couleur, l'épaisseur du trait et la portion de plan affichée ne définissent pas l'objet.
A step-by-step example
On compare les fractions irréductibles 1/2 et 1/3. Les données sont p = 1, q = 2, a = 1 et b = 3.
1. Pour 1/2, le rayon et l'ordonnée du centre valent 1/(2 × 22) = 1/8. Le centre est donc (1/2, 1/8).
2. Pour 1/3, le rayon et l'ordonnée du centre valent 1/(2 × 32) = 1/18. Le centre est donc (1/3, 1/18).
3. Le critère de tangence donne |1 × 3 − 1 × 2| = 1. Les deux cercles sont donc tangents extérieurement.
4. On contrôle ce résultat par la distance entre les centres : l'écart horizontal vaut 1/6 et l'écart vertical 5/72.
2. Pour 1/3, le rayon et l'ordonnée du centre valent 1/(2 × 32) = 1/18. Le centre est donc (1/3, 1/18).
3. Le critère de tangence donne |1 × 3 − 1 × 2| = 1. Les deux cercles sont donc tangents extérieurement.
4. On contrôle ce résultat par la distance entre les centres : l'écart horizontal vaut 1/6 et l'écart vertical 5/72.
Le théorème de Pythagore donne . Or la somme des rayons vaut aussi 1/8 + 1/18 = 13/72. L'égalité confirme la tangence. La construction à l'échelle permet de voir simultanément les deux points de contact avec l'axe et l'unique point de contact entre les cercles.
In practice
Pour tracer le cercle d'un rationnel, réduisez d'abord la fraction, puis placez le centre et utilisez 1/(2q2) comme rayon. Une construction géométrique à l'échelle convient lorsque l'on veut comparer visuellement plusieurs dénominateurs.
Pour décider si deux cercles se touchent, calculez |pb − aq|. Le critère arithmétique est préférable à une lecture du dessin dès que les cercles sont petits : la valeur 1 prouve la tangence, toute autre valeur prouve qu'ils sont disjoints.
Pour explorer les rationnels entre 0 et 1 par dénominateurs croissants, une suite de Farey organise directement les voisinages. Une fraction continue est plus adaptée lorsque le but est de produire successivement de bonnes approximations rationnelles d'un nombre réel.
Not to be confused with
Un cercle tangent à l'axe. Cette propriété ne suffit pas à faire un cercle de Ford. Par exemple, un cercle de rayon 1 posé au-dessus de l'axe en x = 1/2 n'est pas C[1/2], dont le rayon vaut 1/8.
Une suite de Farey. Une suite de Farey est une liste finie de fractions ordonnées pour une borne de dénominateur donnée. Les cercles de Ford forment une famille géométrique infinie ; la tangence traduit le voisinage de Farey, mais ne transforme pas les cercles en suite.
Un cercle d'Apollonius quelconque. Les cercles de Ford constituent seulement le sous-ensemble déterminé par les fractions irréductibles et la formule imposée au rayon. Un cercle d'Apollonius extérieur à cette construction n'est pas nécessairement un cercle de Ford.
Limits and pitfalls
Fraction non réduite. L'écriture 2/4 représente 1/2, mais appliquer directement la formule avec q = 4 donnerait à tort un rayon de 1/32. Il faut d'abord réduire 2/4 en 1/2, puis prendre le rayon 1/8.
Signe du dénominateur. La convention exige q > 0. Une écriture comme −1/−2 doit être normalisée en 1/2 avant la construction, afin que le même rationnel ne reçoive pas plusieurs couples d'entiers.
Tangence supposée à l'œil. Deux petits cercles peuvent sembler se toucher ou se chevaucher sur un tracé peu précis. Il faut contrôler les fractions irréductibles avec , plutôt que mesurer une image.
Échelle trompeuse. Le rayon décroît comme 1/q2, et non comme 1/q. Passer du dénominateur 2 au dénominateur 4 divise donc la taille par quatre. Une fenêtre ou un trait trop épais peut masquer les cercles de grand dénominateur.
Further reading
La suite de Farey explique pourquoi le déterminant égal à 1 signale deux fractions voisines et deux cercles tangents.
La notion de Fraction continue montre comment des approximations rationnelles successives s'inscrivent dans l'arithmétique que les cercles rendent visible.
Le cercle d'Apollonius replace la famille de Ford dans une construction plus générale de cercles engendrés par tangence.
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