circulation of a vector field

Imaginez un trajet dessiné au milieu de petites flèches, comme un chemin parcouru dans un courant. À chaque pas, seule la part de la flèche dirigée dans le sens du déplacement contribue. Elle compte positivement si elle accompagne le mouvement, négativement si elle s'y oppose et zéro si elle lui est perpendiculaire.

La circulation additionne ces contributions tout au long du trajet. Elle dépend donc à la fois du champ, du chemin choisi et du sens dans lequel ce chemin est parcouru.

Dans un espace euclidien, un champ de vecteurs associe un vecteur à chaque point. Pour éviter de confondre le champ avec une extrémité du chemin, notons ce champ F. Le chemin orienté est décrit par une courbe paramétrée r, et le paramètre t varie d'une valeur initiale a à une valeur finale b. Si la courbe est régulière par morceaux et si le champ est défini et suffisamment régulier le long du trajet, sa circulation est l'intégrale curviligne suivante.

Le produit scalaire sélectionne la composante du champ tangente au déplacement. Une reparamétrisation qui conserve l'orientation ne change pas la valeur, tandis que parcourir le même chemin en sens inverse change son signe. Si le champ dérive d'un potentiel scalaire φ selon $\mathbf{F}=-\mathrm{\nabla }\phi \backslash mathbf\; F=-\backslash nabla\backslash varphi$, alors la circulation d'un point initial P à un point final Q vaut $\phi (P)-\phi (Q)\backslash varphi(P)-\backslash varphi(Q)$. Elle ne dépend alors que des extrémités, et elle est nulle sur tout chemin fermé.

Dans un repère sans unité, suivons une portion de parabole de l'origine au point de coordonnées (1, 1). Les données sont les suivantes :
• le paramètre t va de 0 à 1 ;
• le chemin est décrit par le vecteur-position r ;
• le champ constant F vaut (2, 1) en tout point ;
• le sens choisi va de (0, 0) vers (1, 1).

1. On dérive le vecteur-position : ${\mathbf{r}}^{\mathrm{\prime }}(t)=(1,2t)\backslash mathbf\; r\text{'}(t)=(1,2t)$.
2. On calcule le produit scalaire : $\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot {\mathbf{r}}^{\mathrm{\prime }}(t)=2+2t\backslash mathbf\; F(\backslash mathbf\; r(t))\backslash cdot\backslash mathbf\; r\text{'}(t)=2+2t$.
3. On additionne les contributions entre 0 et 1 : ${\int }_0^1(2+2t)dt=[2t+t^2{]}_0^1=3\backslash int\_0^1(2+2t)\backslash ,dt=[2t+t^2]\_0^1=3$.
4. La circulation vaut donc exactement 3, sans unité dans ce repère.

Un contrôle indépendant consiste à remarquer que le champ est constant : l'intégrale vaut alors son produit scalaire avec le déplacement total, soit $(2,1)\cdot ((1,1)-(0,0))=3(2,1)\backslash cdot((1,1)-(0,0))=3$. Les deux calculs concordent.

En mécanique, la circulation d'une force le long du trajet suivi donne son travail. Si le déplacement est rectiligne et la force constante, un produit scalaire suffit ; dès que le chemin ou la force varie, l'intégrale curviligne prend le relais.

En électromagnétisme, on examine la circulation du champ électrique sur un trajet orienté pour exprimer une force électromotrice. Un potentiel entre deux extrémités suffit dans le cas conservatif ; un parcours fermé met directement en évidence une circulation éventuellement non nulle.

En mécanique des fluides, la circulation mesure l'effet tangent du champ de vitesse autour d'un contour. Pour décrire ce qui traverse une frontière, il faut plutôt étudier la composante normale : la circulation répond à une autre question.

Circulation et flux. La circulation utilise la composante du champ tangente au chemin ; le flux utilise sa composante normale à une courbe ou à une surface. Un champ partout tangent à un cercle peut avoir une circulation non nulle sur ce cercle, tandis que son flux à travers le cercle est nul.

Circulation et longueur du chemin. La longueur additionne des distances positives. La circulation additionne des contributions signées du champ : deux portions peuvent se compenser, et inverser le sens change la circulation sans changer la longueur.

Champ vectoriel et potentiel scalaire. Le premier associe un vecteur à chaque point ; le second associe un nombre. Lorsqu'un champ s'écrit comme l'opposé du gradient d'un potentiel, ce potentiel permet de calculer la circulation entre deux extrémités sans suivre tout le trajet.

Orientation oubliée. Une valeur obtenue avec le chemin de P vers Q prend le signe opposé de Q vers P. Il faut donc fixer le sens avant de paramétrer la courbe.

Chemin fermé. Une circulation nulle sur tous les chemins fermés découle d'un potentiel défini sur le domaine considéré. Une valeur nulle sur un seul contour ne suffit pas à conclure que le champ est conservatif ; il faut contrôler la propriété sur le domaine pertinent.

Paramétrage inadéquat. La formule suppose que la courbe possède une tangente, au moins par morceaux, et que le champ est défini le long du trajet. À un point anguleux isolé, on découpe le chemin en morceaux réguliers ; si le champ n'est pas défini sur le chemin, l'intégrale ordinaire n'est pas applicable telle quelle.

Composante perpendiculaire. Une portion où le champ est exactement perpendiculaire au déplacement contribue 0, même si le champ est intense. Il faut calculer le produit scalaire, et non additionner seulement les normes des vecteurs.

Le produit scalaire explique pourquoi seule la composante du champ alignée avec le déplacement contribue à la circulation.

La fiche sur le champ scalaire précise la nature du potentiel dont le gradient peut engendrer un champ conservatif.