arc-length parameter
En géométrie différentielle, l'abscisse curviligne est l'analogue sur une courbe de l'abscisse sur une droite orientée. Elle fournit un moyen de reparamétrer un arc par sa longueur. Pour un arc paramétré orienté (I, f) de classe C¹, on appelle abscisse curviligne toute application s : I → ℝ telle que, pour t₁ < t₂, la quantité s(t₂) − s(t₁) soit égale à la longueur de l'arc entre t₁ et t₂. Les abscisses curvilignes sont exactement les primitives de la fonction ‖f'(t)‖.
Contents
What you will learn
- Interpréter l'abscisse curviligne comme une distance cumulée sur un arc orienté.
- Relier sa dérivée à la norme du vecteur dérivé de la courbe.
- Calculer s(t) sur le paramétrage f(t) = (3t, 4t).
- Distinguer abscisse curviligne, coordonnée cartésienne et paramètre initial.
- Repérer les difficultés dues à une vitesse nulle, un recoupement ou un changement de convention.
In plain terms
Imaginez un point qui avance sur une piste courbe. Le nombre inscrit à côté du point ne donne pas sa position horizontale : il indique la distance parcourue le long de la piste depuis une origine choisie. Ce nombre est son abscisse curviligne.
Sur le trajet rectiligne de notre exemple, le point passe de (0, 0) à (3, 4). Il a alors parcouru 5 unités, même si sa première coordonnée ne vaut que 3. En poursuivant jusqu'à (6, 8), son abscisse curviligne atteint 10.
Definition
Considérons un intervalle réel I et une application f de classe C¹ qui associe à chaque paramètre t un point f(t) d'une courbe orientée. Une abscisse curviligne est une application réelle s sur I dont l'accroissement mesure la longueur parcourue : si t1 < t2, alors s(t2) − s(t1) est la longueur de l'arc décrit entre ces deux paramètres. L'orientation est celle des valeurs croissantes de t.
Le vecteur dérivé f'(t) donne la vitesse du point paramétré, et sa norme ‖f'(t)‖ est sa vitesse scalaire. Le théorème fondamental de l'analyse relie alors longueur et primitive : . Pour une origine choisie au paramètre t0 et une valeur initiale s0, on obtient :
Deux abscisses curvilignes du même arc orienté ne diffèrent donc que d'une constante, liée au choix de l'origine. La fonction s existe même si f'(t) s'annule. En revanche, pour employer s comme paramètre régulier avec une inverse de classe C¹, il faut que la vitesse ne s'annule pas sur l'intervalle considéré.
A step-by-step example
Un point décrit le segment orienté par f(t) = (3t, 4t), avec 0 ≤ t ≤ 2. Les données sont le point initial f(0) = (0, 0), le point intermédiaire f(1) = (3, 4), le point final f(2) = (6, 8) et l'origine s(0) = 0. La figure matérialise les distances cumulées 0, 5 et 10 le long du trajet.
1. On dérive les deux coordonnées : f'(t) = (3, 4).
2. La vitesse scalaire est constante : .
3. Depuis l'origine choisie, l'abscisse curviligne vaut . On trouve donc s(1) = 5 unités et s(2) = 10 unités.
Le contrôle est direct : entre (0, 0) et (6, 8), la distance vaut √(6² + 8²) = 10. Comme le trajet est le segment qui joint ces points, cette distance égale bien sa longueur.
In practice
Pour repérer une position sur une route ou une piste, l'abscisse curviligne donne la distance cumulée depuis une borne choisie. Une coordonnée cartésienne convient mieux si l'on veut seulement la projection horizontale ou verticale du point.
Pour décrire un mouvement à vitesse constante le long d'une courbe régulière, on peut remplacer le paramètre initial par la longueur parcourue. Ce choix est préférable lorsque la norme de la dérivée ne s'annule pas, car le nouveau paramètre avance alors sans arrêt ni retour.
Pour calculer une longueur, on intègre la norme du vecteur dérivé. Si la courbe n'est connue que par des points mesurés, on additionne plutôt les longueurs des petits segments successifs ; le résultat dépend alors du pas d'échantillonnage.
Not to be confused with
Abscisse cartésienne. Elle est la première coordonnée x d'un point dans un repère ; l'abscisse curviligne mesure une longueur le long du trajet. Dans l'exemple, le point (3, 4) a pour abscisse cartésienne 3 et pour abscisse curviligne 5.
Paramètre initial. Le nombre t sert à parcourir la courbe, mais il n'est une longueur que lorsque ‖f'(t)‖ vaut 1. Ici, t = 1 correspond à 5 unités parcourues : t et s ne coïncident pas.
Distance entre les extrémités. Elle mesure le plus court segment entre deux points, tandis que la longueur d'arc suit la courbe imposée. Pour un demi-cercle de rayon r, ces deux valeurs sont respectivement 2r et πr.
Limits and pitfalls
Origine non imposée. Ajouter une constante à s ne change aucune longueur entre deux paramètres. Si deux calculs diffèrent partout de la même valeur, il faut harmoniser la convention s(t0) plutôt que conclure à une erreur.
Vitesse nulle. Au seuil ‖f'(t)‖ = 0, l'abscisse curviligne a une dérivée nulle. Elle continue de cumuler la longueur, mais ne fournit pas à cet endroit un changement de paramètre régulier dont l'inverse serait de classe C¹. Il faut restreindre l'étude à des morceaux réguliers si cette inverse est nécessaire.
Courbe qui se recoupe. L'abscisse curviligne repère un instant du parcours, pas nécessairement un point géométrique unique. Si la trajectoire revient au même point, ce point reçoit plusieurs valeurs de s ; il faut conserver le paramètre ou préciser la branche parcourue.
Orientation renversée. La longueur reste positive, mais l'ordre de parcours et la convention de signe changent avec le sens choisi. L'origine peut rester la même ou être choisie séparément. Pour comparer deux valeurs, il faut vérifier qu'elles utilisent la même orientation et la même origine.
Further reading
La fiche arc précise l'objet géométrique dont l'abscisse curviligne mesure la longueur parcourue.
La fiche fonction primitive approfondit le lien entre la vitesse ‖f'(t)‖ et toutes les fonctions s qui la dérivent.
La fiche norme explique la mesure appliquée au vecteur dérivé pour obtenir la vitesse scalaire.
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